« Châtier / châtiment » ajoutent une notion de sévérité et souvent de souffrance infligée qui n’apparaît pas dans « punir/punition ».

« Châtier » ne s’emploie plus guère que dans le proverbe « Qui aime bien châtie bien ».

« Châtiment » est un peu plus courant, en particulier dans l’expression « châtiment corporel » qui décrit quelque chose d’effectivement beaucoup plus sévère qu’une punition “normale”.

Châtier vient du latin castigare (« essayer d’instruire ») lui-même dérivé de castus « chaste » (dans le sens de « conforme aux règles »). Châtier c’était au départ réprimander dans un sens éducatif, on châtie pour rendre meilleur. Le mot fait aussi partie du vocabulaire chrétien : « se châtier » est synonyme de « se mortifier ».

Punir vient du latin punire qui voulait dire au départ « infliger un châtiment ».

Donc les deux mots ont toujours eu des sens très proches, souvent employés indifféremment l’un pour l’autre, châtier étant beaucoup moins employé de nos jours et d’un niveau de langue beaucoup plus soutenu.
Cependant on emploiera châtier si on veut évoquer la valeur éducative : on emploie châtier quand on a l’espoir que la personne recevant le châtiment s’améliorera à travers la peine infligée, on châtie quelqu’un « pour son bien ». On parle aussi du « châtiment divin » pour une désigner une peine envoyée par Dieu.
Punir implique plus uniquement la peine infligée pour faute commise (matérielle ou morale) sans penser à l’amélioration morale de la personne.
En terme juridique on parle de punition et non de châtiment.

À signaler l’emploi de l’adjectif « châtié » au sens figuré : en critique littéraire un « style châtié » est un style épuré, à la fois dépourvu de toutes fioritures et toujours très correct (ni familier, ni grossier, et correct grammaticalement).