Si l’on recherche une expression correcte, il faut dire

• Si je peux dire ou si je puis dire.

• Si l’on peut dire.

Origine des usages

• Peux-je n’étant pas audible, l’usage à modifié la phonie :
• Puis-je est la forme interrogative, que l’on utilise parfois aussi à l’affirmatif.

Peut-on est la forme interrogative à la troisième personne, elle est audible et prononçable, donc puit[-on] n’existe pas.

Seule la première personne du singulier de ce verbe accepte deux graphies.

Si on puit dire est un néologisme(le correcteur orthographique en ligne signale une erreur au moment de la frappe) ; peut-être qu’à force d’être employé (à tort) l’usage sera accepté, mais c’est à déconseiller.

Mettre un s (signe de la première personne du singulier) après pui* (à la troisième personne du singulier) est une aberration… à faire hérisser les rares cheveux de nos académiciens. 🙂

« Si l’on *puis dire » est complètement contraire aux règles grammaticales du français, qui veulent que la troisième personne du singulier ait une terminaison en -t ou -e (il parle, il finit), quelquefois une autre lettre quand elle fait partie de la racine du verbe (il a, il vend), mais jamais un suffixe -s. Le suffixe -s est utilisé pour la deuxième personne du singulier et dans certains cas pour la première personne.

Google Livres ne trouve qu’une occurrence de « si l’on puis dire » (il y a quelques autres résultats qui sont des faux positifs), clairement une erreur.

« Si l’on puit dire » est conforme aux règles morphologiques de base, mais il n’est pratiquement pas utilisé : 14 occurrences sur Google Livres. C’est négligeable par rapport à « si l’on peut dire ». On est dans le domaine de la coquille, même pas la distraction.

On pourrait penser au dico étymologique, parce que puit est une conjugaison obsolète du verbe pouvoir (qui survit à la première personne, essentiellement dans la tournure interrogative « puis-je »), mais les occurrences sur Google Livres sont plutôt récentes. Il est possible que cette forme rentre à nouveau dans l’usage dans cette expression par analogie avec l’expression figée « si je puis dire », mais on n’en est encore loin.