On peut bien sûr très bien dire que se lever de bonne heure (expression où de bonne heure veut dire « tôt ») c’est se lever à la bonne heure (ici l’adjectif bon voulant dire « qui convient »), mais l’usage distingue les deux en tant qu’expressions, même si parfois les deux usages sont confondus.

De bonne heure (attesté en 1458¹) veut dire à une heure matinale, tôt (Proust, À la recherche du temps perdu : « Longtemps je me suis couché de bonne heure ». Le Dictionnaire historique de la langue française fait rentrer cet usage de bon dans le « domaine temporel » avec une valeur intensive. Je connais au moins une variante régionale (mon sud-ouest natal : à bonne heure).

À la bonne heure (attesté en 1450²) est une locution adverbiale qui peut signifier au bon moment, à propos, ou marquer l’approbation (Molière, l’Avare : 
« Si tu avais senti quelque inclination pour elle, à la bonne heure, je te l’aurais fait épouser, au lieu de moi ; mais cela n’étant pas, je suivrai mon premier dessein, et je l’épouserai moi-même. »
Je l’utilise moi-même pour signifier « ouf ! » (soulagement, dans le sens de « enfin » ), je pensais que c’était un méridionalisme, mais je viens juste de trouver une occurrence de l’expression avec ce sens là, dans Les Plaideurs de Racine : « Je ne dormirai point. — Hé bien ! à la bonne heure ! Qu’on ne le quitte pas. »

¹ : Dictionnaire culturel en langue française sld Alain Rey, éditions Le Robert
² : Dictionnaire historique de la langue française, sld Alain Rey, éditions Le Robert

Une petite note, histoire de compléter la réponse de Laure : se lever tôt est souvent associé à une bonne habitude dans la langue française, comme en atteste une autre expression :

L’avenir appartient à ceux qui se lèvent tôt.

Cela expliquerait entre autres l’association existante entre l’expression « de bonne heure » et « tôt ».

Au Québec “il va falloir qu’il se lève de bonne heure” a aussi un sens “douter de la possibilité sans un effort important.”