Jette un coup d’œil un peu plus haut dans le TLF, point B 2.

[…] 2. Particule onomastique, dite à tort particule nobiliaire ou p.ell., absol., la particule. Préposition faisant partie intégrante d’un nom patronymique qu’elle précède, mais qui n’atteste pas l’authenticité de cette noblesse. La particule «de» en français (v. de¹C 5 a spéc. β); avoir, porter, prendre la particule; noms de famille noble sans particule. […]

L’article « de¹C 5 a spécialement β » (pas évident à trouver en parcourant la page, il faut l’avouer — chercher « Charles de Gaulle » aide beaucoup) donne la définition (et plus) :

de, particule onom., exprime l’appartenance à une classe ou à un milieu social particulier, nobiliaire ou plus rarement bourgeois (p. ex. Charles de Gaulle); autrefois la particule indiquait la possession d’un fief noble, d’un patrimoine seigneurial, de + nom propre patronymique.

Un nom à particule, c’est donc un nom avec un « petit de ». Par exemple « de Rotschild », « Poivre d’Arvor » « de Saxe-Cobourg et Gotha ». En général (mais pas toujours, le d’Arvor de Poivre d’Arvor est un ajout) l’origine de la particule est noble. Les ducs ont tirés leur nom du « duché de Saxe-Cobourg et Gotha ».

Dans le contexte de ton réseau social, rejoindre la page « J’ai une double particule et un château de famille » veut probablement dire « je suis issue d’une bonne famille plutôt aisée » — et se veut ironique.

Un nom à particule (ou à charnière) est un nom issu de la noblesse (éventuellement acheté) par exemple : « Valéry Giscard d’Estaing » ou « Dominique Marie François René Galouzeau de Villepin ».
Un nom à double particule contient deux fois le « de » comme, par exemple : « Philippe Le Jolis de Villiers de Saintignon ».

Je tiens à préciser que ces noms sont les premiers qui me viennent à l’esprit et n’ont aucune connotation politique.