L’auxiliaire « avoir » est utilisé quand « passer » est transitif (accompagné d’un complément d’objet):

• J’ai passé mon permis.

• J’ai passé l’age.

L’auxiliaire « être » est utilisé quand « passer » est intransitif (pas de complément d’objet) :

• Je suis passé au rouge.

• Je suis passé par la mairie.

« J’ai passé par la mairie » est une "grosse" faute de français.

Emploi de l’auxiliaire aux temps composés

Se conjuguent avec l’auxiliaire être :

• les verbes pronominaux

• une liste de verbes qui sont des verbes de mouvement
  aller, arriver, entrer (rentrer), partir (repartir), venir (revenir), tomber (retomber), venir (intervenir, parvenir, revenir, survenir)

  ou d’état / changement d’état
  décéder, devenir, mourir, naître, rester,

Se conjuguent avec avoir :

• être et avoir
• tous les verbes transitifs
• la plupart des verbes intransitifs
• les verbes impersonnels

Certains verbes peuvent utiliser être ou avoir :

• selon qu’ils sont transitifs

  Il a descendu l’escalier.
  Elle a rentré la voiture dans le garage.
  J’ai tombé la veste.¹

• ou intransitifs

  Elle est descendue à pied.
  Il est rentré dans la maison.

• ou selon leur sens

  Elle est demeurée dix minutes sans bouger. (rester)
  Nous avons demeuré dans cette rue pendant vingt ans. (habiter)

  Grevisse² sur ce point signale aussi échapper qui s’utilise avec
  avoir quand il a le sens de « n’être pas remarqué » :

  Le véritable sens avait échappé à tous les traducteurs.

  souvent avec être quand il s’applique à ce qu’on dit par mégarde :

  Je ne crois pas qu’il me soit échappé un seul trait par mégarde (Voltaire)

  et être ou avoir dans les autres cas :

  Cela m’a échappé de la mémoire. /Cela m’est échappé de la mémoire

  Et convenir qui se conjugue avec avoir quand il a le sens de « plaire » et avec être quand il signifie « admettre » ou « tomber d’accord »

  Nous sommes convenus de partir tous ensemble. (Villiers de l’Isle d’Adam)

  Mais il cite l’Office de la langue française (1938) qui qualifie cette distinction de « subtile et franchement arbitraire »

  Grevisse signale aussi qu’un

  certain nombre de verbes intransitifs ou pris intransitivement se conjuguent tantôt avec avoir, tantôt avec être : en général, ils prennent avoir quand on veut exprimer une action qui s’est passée à l’époque dont on parle, et être quand on veut exprimer l’état résultant de l’action antérieurement accomplie. […]
  J’ai passé par là en 1914 (É. Henriot) […]
  Je suis passée courageusement de Bretagne en Provence (Mme de Sévigné, Lettres)
  […]

  Il signale aussi en note que beaucoup de ces verbes ne se conjuguent en fait qu’avec avoir et que quand ils prennent être, c’est que le participe passé est employé comme un simple adjectif :

  Il est grandi. / Il a grandi.

Pour en revenir à l’exemple donné dans la question, à savoir l’emploi de l’auxiliaire avoir avec passer utilisé de façon intransitive :

J’ai passé par la mairie.

il se rattache au cas cité ci-dessus (action qui s’est passée à une certaine époque dont on parle), de nos jours ça sonne plutôt familier et vieillot mais on l’entend encore, tout comme :

il a sorti ce matin.

Je suis tombée sur une étude québécoise datant de 1977 et qui traite de l’alternance entre les auxiliaires avoir et être en français parlé à Montréal qui dit que :

Dans la langue parlée, les formes du type j’ai parti existent toujours et
leur usage est devenu socialement marqué.

<sup>1. Je pense que cette expression est le seul cas d’emploi de tomber de façon transitive.
2. 10e édition, 1976, §656.</sup>