Les deux se disent, la différence étant le sujet du verbe "renouveler". Si vous dites "je dois renouveler", cela signifie que vous accomplissez l’action vous-mêmes. Si vous dites "je dois faire renouveler", cela signifie que quelqu’un d’autre effectue l’action. Dans le cas d’une prescription, au moins deux personnes (vous et le médecin) participent à l’action, donc les deux tournures sont synonymes.

Il n’est pas tout a fait exact de dire que les deux tournures sont synonymes: le patient ne peut renouveler lui-même sa prescription, il doit l’obtenir du médecin: C’est donc la deuxième forme, "faire renouveler", qui est correcte, la première étant un abus de langage.