Il n’y a pas de grosse différence d’utilisation ou de sens entre ces deux termes, ils sont d’ailleurs souvent considérés comme synonymes.

Cependant, on peut parfois employer l’un plutôt que l’autre pour des raisons de style ou lorsqu’ils font partie d’une expression. Par exemple, dans l’expression suivante, j’aurais tendance à dire :

Sa façon d’être.

plutôt que :

Sa manière d’être.

On peut essayer de les différencier en fonction du verbe adjoint :

Façon est lié à l’action de faire, et s’emploie de préférence avec un verbe d’action.

Manière en est la forme : manière d’agir de se conduire, de vivre, d’être. Il s’emploie de préférence avec un verbe d’état qui induit un effet sur autrui.

La meilleure façon d’marcher c’est encore la nôtre, c’est de mettre un
pied d’vant l’autre et de recommencer (Chanson souvent utilisée par les groupes de jeunes).

L’art et la manière, employer la manière forte (locutions).

Il est maniéré : péjoratif, il complique sa façon d’agir par des
attitudes superfétatoires.

Mais on ne peut pas dire il est façonné qui n’est utilisé que pour les objets.

Je n’aime pas ces manières de parler : je n’aime pas cette forme d’expression (en ciblant plutôt le choix des mots, l’expression théâtralisée du locuteur).

Je n’aime pas ces façons de parler : je n’aime pas les mots, le sens donné à la phrase (en ciblant plutôt le texte prononcé, l’attitude morale du locuteur).

Mais on peut interchanger ces deux mots sans modifier le sens de la phrase, mis à part quelques locutions.