Une des grandes différences est que “parce que” est une conjonction de subordination et introduit donc une proposition subordonnée. Ainsi “parce que” peut être utilisé en début de phrase. Il indique une cause, un motif.

Je n’ai pas pu venir, parce que j’ai eu un accident.

En revanche, “car” est une conjonction de coordination et ne peut pas commencer une phrase*, il ne peut que relier deux propositions. “Car” soutient un jugement, indique une raison.

Je n’ai pas pu venir car j’ai eu un accident.

“Puisque” est une conjonction de subordination aussi. Il peut démarrer une phrase et indique une justification ou explication généralement évidente.

Puisque j’ai eu un accident, tu comprends bien que je ne pouvais pas venir!

Edit:
* Le lien indique que le point peut parfois être utilisé avant car, pour maintenir le style linguistique employant des phrases courtes dans un roman par exemple. Techniquement cela fait de car un début de phrase, mais il y a tout de même la proposition qui le précède.

Au Québec, on utilise principalement parce que. Il n’y a pas de différence de signification avec car, c’est simplement que car n’est pas très utilisé (à mon avis c’est probablement dû à la façon dont on prononce nos a : prononcer car correctement requerrait plus d’effort que parce que et aurait l’air étrange).

Aussi, il ne faut pas être surpris d’entendre à cause que. Cette utilisation n’est faite qu’à l’oral.

Je n’ai pas pu venir à cause que j’ai eu un accident.

Une petite recherche dans le TFL donne à Car, remarque 2 :

Rem. 2. Car/Parce que, Car/Puisque. Contrairement à car, parce que et
puisque peuvent être utilisés après certaines conj. de coordination :
et, mais, ni parce que ou et, mais, ni puisque; de même ils peuvent
être repris par que : parce que… et que ou puisque… et que.

D’autre part, parce que peut introduire une prop. en réponse à la
question pourquoi?, s’employer derrière des adv. tels que précisément,
justement, uniquement, seulement, surtout…, après le tour uniceptif
ne… que et le présentatif c’est, tous emplois impossibles avec car.
La conj. car qui introduit une explication peut avoir la même valeur
que puisque, qui garantit le bien-fondé véridique de l’énoncé.

Noter ds l’ex. suiv. la reprise de car par puisque : … toute
l’inclinaison (générale) du corps en avant dénonce, trahit ce que je
suis, car je le deviens, puisque je le deviens : un paysan (…).
L’inclinaison commençante générale vers la terre nourricière, vers la
terre mère, vers la terre tombeau. Péguy, Victor-Marie,Comte Hugo,
1910, p. 672.

Au Louisiane, nous-autres on dit “par rapport que” quand on est après
raconter quelque chose + subordinate-clause. Et quand on peut aussi
utiliser “à cause de.” Tandis que, parce que est utilisé raconter une
raison en réponse à la question.

[ En Louisiane, nous disons « par rapport que » lorsque nous expliquons quelque chose pour introduire une proposition subordonnée. Ainsi que là où on pourrait utiliser « à cause de ». Alors que parce que est utilisé pour introduire une raison en réponse à une question posée. ]