Ces verbes peuvent être conjugués avec les deux auxiliaires.

Pour le verbe paraître, l’auxiliaire peut changer le sens de la phrase. Lorsque l’auxiliaire être est employé, le verbe signifie se montrer, se présenter ou être publié. Lorsqu’il est utilisé avec l’auxiliaire avoir, il a le sens de sembler, donner l’impression.

La nouvelle est parue dans le journal.
Jean n’est pas paru au bureau depuis trois jours.

Le vol m’a paru très long.
Les enfants m’ont paru nerveux.

Pour le verbe apparaître, il s’emploie principalement avec l’auxiliaire être, mais peut être utilisé avec l’auxiliaire avoir pour insister sur l’action plutôt que l’état. L’utilisation de l’auxiliaire être a cependant tendance à remplacer avoir dans tous les cas, mais les deux sont corrects.

Il est apparu à Noël chargé de cadeaux.

Des traces ont apparu à la surface.

Voir la définition de paraître et les difficultés de apparaître dans le Larousse.

Les deux auxiliaires s’emploient, avec des nuances de sens.

Ces nuances sont parfois assez subtiles. Je cite l’OQLF:

Lorsqu’il est question d’une publication, paraître peut recevoir les deux auxiliaires, mais avec une nuance de sens propre à chacun d’eux. La conjugaison avec avoir insiste sur la publication même, l’action de publier, tandis que la conjugaison avec être met l’accent sur la publication vue dans son résultat, comme un fait accompli.

Voir les exemples et les précisions dans les articles en question: paraitre et apparaître.

Trouvé sur d’autres sites Web.

• http://bdl.oqlf.gouv.qc.ca/bdl/gabarit_bdl.asp?id=3852 :

  Si apparaître et paraître peuvent tous deux signifier « devenir visible », apparaître suggère un caractère soudain (« devenir soudainement visible, évident »), alors que paraître renvoie davantage à une action attendue, moins brusque. À cette nuance sémantique s’ajoute une autre différence : paraître se conjugue généralement avec avoir et apparaître, à l’inverse, généralement avec être.

  Exemples :

  • On ne sait pas où il est, il n’a pas paru au bureau depuis deux jours.
  • Le soleil n’a paru que quelques minutes à la fin de l’après-midi.
  • Des difficultés imprévues sont apparues.
  • La vérité lui est soudainement apparue.
  • Des taches sont apparues sur sa peau.

• http://forum.wordreference.com/showthread.php?t=175588&p=1106971#post1106971

  Avec être on insiste sur l’état alors qu’avec avoir on insiste plus sur l’action.
  Mais on en réalité on utilise quasiment jamais avoir…
  Apparaître peut se conjuguer avec avoir parce qu’il peut par moment être employé de façon transitive.