Je crois qu’on parle ici d’une substance différente du goudron de pétrole (on produit du goudron à partir de certaines plantes aussi). On goudronnait les tissus, notamment les toiles sur les navires ou les chapeaux (on trouve souvent des références à des chapeaux goudronnés), mais je ne suis pas certain s’il s’agissait de les rigidifier (comme l’amidon) ou de les imperméabiliser. Bref, je ne suis pas certain du pourquoi et du comment de l’opération, mais elle ne semble pas entièrement hors de propos.

D’après le dictionnaire de la langue française il s’agit d’un terme de blanchisserie qui désigne l’action de faire des petits plis avec la main le long de la manchette.

Il s’agit d’une autre écriture de godronner comme expliqué dans le
Dictionnaire étymologique de la langue française

De ce que le goudron sert à rendre les bâtiments et les cordages plus
fermes, plus solides, on a fait :
GODRONNER : empeser […] des manchettes et par métaplasme, orner de godrons.
GODRONS : plis ronds aux manchettes.

Ah ben non, ça serait dégoûtant…

Goudronner des manchettes vient en fait du terme godronner des manchettes. Ce n’est cependant pas une faute de frappe car les deux termes peuvent être employés dans ce contexte et signifient la même chose.

Extrait du Dictionnaire étymologique de la langue françoise, où les mots sont classés par familles de Jean-Baptiste-Bonaventure de Roquefort-Flaméricourt, Champolliont-Figeac :

GODRONNER, empeser une fraise, un jabot, des manchettes, et par métaplasme, orner de godrons.
GODRON, plis ronds aux manchettes ; rayon au fond d’une bague ; ornement d’architecture qui ressemble à une amande alongée. (…)

NOTE : « alongée » semblait ne prendre qu’un seul « l » à l’époque.

Goudronner en vieux français : « terme de blanchisseur et menu linge, qui se dit en parlant de manchettes, et c’est faire de petits plis avec la main le long de la manchette lorsqu’elle est empesée ».

Confirmation du lien fourni par Cédric Julien et Otarus dans :

• Le Dictionnaire étymologique de la langue françoise, où les mots sont classés par familles : contenant les mots du Dictionnaire de l’Académie Françoise, avec les principaux termes d’arts, de sciences et de métiers. Précédé d’une dissertation sur l’étymologie, Volume 1 (Livre numérique Google)
  [lien]

et

• Le Dictionnaire de la langue françoise, ancienne et moderne :
  E – O, Volume 2 (Livre numérique Google)
  [lien]

Et merci pour cette question, j’ai appris quelque chose d’inhabituel. 🙂