Le TLFi répond à peu près à toutes tes questions.

A.− Mettre (généralement un vêtement) sur son dos. Synon. enfiler, mettre. Endosser un pardessus, une redingote, une robe de chambre. Endosser l’uniforme de bure de la prison (Van der Meersch, Invas. 14, 1935, p. 290).

« Généralement un vêtement », donc pas nécessairement. Endosser un sac-à-dos ne me choquerait pas, mais en langage courant on emploierait plutôt mettre. Juste en-dessous, le sens transitif indirect (endosser qqch. à qqn.) est noté comme « rare ». Dans ce sens-là, on emploie plutôt adosser (cela répond aussi à ta question 3).

Pour le sens 2, il est surtout employé métaphoriquement : endosser un rôle, une responsabilité. C’est aussi un « fardeau », mais pas au sens physique du terme.

Écrire quelque chose au dos d’une feuille de papier de grande valeur

Peut-on utiliser ce mot s’il si on enduit quelque chose sur le « dos » d’un objet mort ? Ça parait étrange si je dis que « j’endosse un autocollant à mon livre », pour exprimer que je le colle sur son dos ?

Non, ce troisième sens est beaucoup plus restrictif. La définition du TLFi l’indique d’ailleurs: Porter au dos d’un titre de crédit ou d’un effet de commerce l’ordre de le payer à une tierce personne, le papier n’est pas simplement de valeur, c’est une reconnaissance de dette sous une forme ou une autre, ce qui est écrit n’est pas n’importe quoi ni par n’importe qui, c’est le créancier qui transfère la créance à quelqu’un d’autre.

La signification la plus utilisée est de loin «endosser les responsabilités», soit plutôt signifier sa responsabilité, seulement si, ou en cas d’eventuels problèmes.

Une expression au sens équivalent: «Prendre sous son bonnet», est proche d’une autre expression «Porter le chapeau», celle-ci signifiant endosser une responsabilité non-souhaité, non-désirée.

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