Ici je recommande d’utiliser "quoi".

Ça vaut pour le formel et informel.

Il semble qu’il existe des formulations très soutenues qui utilisent "que", par exemple : "je ne sais que dire". En revanche, elles restent assez marginales, et étant donné que même des francophones ont du mal à se mettre d’accord sur leur existence, je recommande de ne pas les utiliser. "Pouvez-vous m’indiquer quoi répondre ?" convient très bien pour un contexte formel.

On peut aussi rencontrer une construction très similaire, assez soutenue :

Que faire ?

Que dire de plus ?

Dans ce cas-là il faut utiliser "que". La construction en elle-même est soutenue.

Les deux formes sont correctes.

“Pouvez-vous me dire quoi répondre” est beaucoup plus courant.

Mais:

“Pouvez-me dire que faire/que dire/que répondre”, est d’un niveau registre de langue (qui me semble) plus soutenu, et parfaitement correct.

On peut trouver cette forme dans des poésies par exemple. (Je rajoute dès que je retrouve)

“Pouvez-vous me dire que faire” est d’un registre de langue plus élevé (je pense) que:
“Pouvez-vous me dire quoi faire”.

Tout dépend du contexte !

Source:

Livre: “études de syntaxe interrogative du français: Quoi, combien et le complémenteur” de Hans-Georg Obenauer.

Extrait:

La construction n’est pas libre, “que” doit immédiatement suivre savoir”

Ex: Je ne sais pas que faire.
Je ne sais plus du tout que faire.
Je ne sais pas quoi faire.
Je ne sais plus du tout quoi faire.

Ne (pas) savoir que faire: https://fr.wiktionary.org/wiki/ne_savoir_que_faire

construit sur le même modèle que “ne pas savoir que répondre“.

EDIT: visiblement “quoi faire” passe beaucoup mieux que “que faire” auprès de la majorité.