Les sens sont proches et tous peuvent être employés dans ce contexte.

Les nuances que l’on peut trouver sont:

• Démontrer: On attend la rigueur scientifique d’une démonstration;

• Prouver: On attend une preuve (irréfutable);

• Montrer: On peut éventuellement accepter une explication moins formelle.

Complément de réponse

Je ne peux affirmer ce qui suit que dans le contexte des mathématiques ; en ce qui concerne la physique il pourrait exister des nuances bien que je doute de cela.
En général il n’est question que d’une préférence personnelle ; par ordre de formalisme croissant on trouve
« montrer » puis « démontrer » et « prouver », quoiqu’il est contestable d’affirmer que « prouver » est vraiment plus formel que « démontrer ».

Il faut savoir qu’en mathématiques une preuve et une démonstration ne sont jamais qu’une et la même chose, c’est à dire la déduction d’une assertion finale seulement à partir d’axiomes, de définitions et de théorèmes tous reconnus dans la théorie ; cette assertion finale doit découler d’une chaine d’applications des axiomes, définitions et théorèmes, dans un ordre donné qui dépend de ce que l’on prouve et tout élément de l’un de ces trois types peut être cités plusieurs fois à l’appui de nouvelles déductions amenant vers la déduction finale. Donc, « prouver » et « démontrer » signifient toujours la même chose.

Le niveau de rigueur d’une preuve, ou démonstration, n’est qu’une conséquence d’un choix que fait l’auteur de fournir plus ou moins d’information, cela selon des critères variés d’intérêt ; par exemple un chapitre de revue de notions préliminaire peut parfois être écrit avec des preuves abrégées, essentiellement parce que les étudiants n’ont besoin que d’un rappel et/ou que le détail des preuves n’est pas si important dans ce qui suivra ; il peut y avoir d’autres raisons.

En physique, on utilise ‘prouver’ et ‘démontrer’ surtout quand on fait… des maths. La question originelle étant apparemment théorique, on peut utiliser ces termes. On notera que ‘montrer’ n’a pas de nom et est utilisé en maths surtout dans des exercices : ‘montrer que…’ (tellement courant que ‘Mq : …’ devient vite parfaitement compréhensible).

Si les résultats sont empiriques ou le fruit de simulations, on fera plus attention. Certaines revues interdisent d’ailleurs ce genre de vocabulaire (notamment dans les résumés). ‘Montrer’ étant plus faible que les deux autres on peut l’utiliser, mais un auteur qui dirait que ses résultats expérimentaux ‘prouvent’ quelque chose passerait pour prétentieux. (Popper est passé par là.)

Dans les ‘sciences’ humaines, toute assertion d’une doctrine est considérée comme preuve suffisante de sa vérité, mais c’est un autre problème.

• Dans un contexte de physique comme celui-ci le meilleur choix est « montrer que
   » (la physique est une science à théories).
• Les verbes « démontrer » et « prouver » s’appliquent principalement aux
  mathématiques (science à axiomes). Le verbe « prouver », fort répandu aujourd’hui, est influencé par l’anglais (prove that…), « démontrer » lui est préférable.