La phrase Je le lui laisse finir dérive d’une construction intermédiaire je le laisse finir par elle (cf. Je l’envoie à elle → Je la lui envoie) que Crocker omet de mentionner.

La phrase Je lui laisse le finir n’est pas possible parce que :

1. Elle viole, sans être une exception à (comme Je la laisse le finir l’est), la règle générale qui interdit de placer un pronom entre laisser et son infinitif objet; et

2. Elle implique que lui est un objet indirect de laisser ce qui n’est clairement pas possible dans cette construction.

Il faut comprendre « Je le lui laisse finir » comme « Je laisse finir le travail à Marie ». Lui est donc un pronom (objet indirect attaché à l’auxiliaire laisser) qui désigne Marie. C’est le même genre de construction que laisser faire à (le TLF indique que cet emploi est vieilli). La signification est très proche de « Je la laisse le finir », i.e. « Je laisse Marie finir le travail », qui est un peu plus désinvolte.

Le verbe laisser en tant que semi-auxiliaire constitue une exception déjà décrite ici : Place du pronom en présence d'un verbe conjugué et l'infinitif : historiquement le pronom objet de la proposition infinitive qui suit est attaché à laisser (uniquement lorsque qu’il est auxiliaire et par conséquent ne possède pas déjà lui-même un objet). C’est pourquoi on écrit : « Je le lui laisse finir ». Déplacer le pronom après l’auxiliaire laisser, i.e. « Je lui laisse le finir », n’est pas parfait (les puristes fronceront les sourcils, même si dans le langage courant cela serait bien compris) — on a tendance à l’éviter.