La concordance des temps est correcte. Mais pas la transformation, qui prend une phrase deja alambiquée et la rend encore plus gravement illisible.

C’est une belle phrase. Pourquoi vouloir la transformer ? Difficile de vous aider sans l savoir…
Votre 2ème phrase est correcte. Elle a peut-être l’inconvénient d’une possible ambiguïté notée dans la 1ère remarque. Le 2ème ils peut en effet s’appliquer à d’autres personnes que celles représentées par le 1er:

Ils auraient voulu que leurs enfants eussent été heureux.

On peut aussi transformer en :

Ils auraient voulu être heureux.

avec une légère perte de sens: dans la phrase initiale, le 2ème verbe est un passé dans le passé (comme dans la pauvre phrase “jeudi, ils auraient voulu avoir été heureux mercredi”); avec l’infinitif, non. Plus de notion de temps (infinitif infini…). Elle n’est pas tellement marquée non plus dans la phrase de Flaubert (en tout cas pas autant que dans ma phrase toute pourrie) mais la tournure nous fait bien ressentir que c’est… définitivement cramé !