La forme je suis peintre est correcte¹.

Voir la définition du verbe être du TLF, 2^ème section, I. a. 2. a) β). (ou chercher « blanchisseuse »)

Malheureusement, je n’y vois rien sur le cas où l’adjectif est un gentilé ; mais j’imagine qu’on peut estimer par extension que c’est correct également.

^{1. Sauf quand le sujet n’est pas peintre.}

La forme « Je suis peintre » est correcte et signifie que ma profession est peintre.
La forme « Je suis un peintre » me semble incomplète, on ajoutera un adjectif ou autre pour souligner un trait particulier du peintre: « Je suis un peintre célèbre » ou « Je suis un peintre en mal d’inspiration ».

Je ne suis pas assez grammairien pour te répondre sans chercher dans des références.

Grevisse note que « le nom [utilisé comme attribut] sans déterminant se rapproche de l’adjectif. […] Il peut dans certains cas recevoir, comme l’adjectif, des marques de degré. »