Pour répondre précisemment à cette question il faudrait avoir plus de détails sur le contexte dans lequel ces mots sont employés.

Le terme "pesanteur" est le plus souvent utilisé dans un contexte scientifique (physique). Son utilisation dans un autre contexte est possible mais dénote un langage soutenu.

Pour désigner le caractère de ce qui est lourd dans le langage courant, j’utiliserais plutôt "lourdeur".

(cette réponse n’engage que moi (France métropolitaine), d’autres francophones pourraient avoir une réponse toute différente)