Grevisse, Le Bon Usage, indique (§1052, c) :

[Le de nobiliaire] se maintient pour unir le nom au prénom, au titre de noblesse ou aux titres de monsieur, madame, monseigneur, etc. — au mot famille, aux noms de parenté (frère, oncle, etc.)

Il disparaît normalement en dehors de ces conditions. Cependant, selon Littré, « on laisse le de, même sans prénom, qualification ou titre : 1) devant les noms d’une syllabe ou de deux avec un e muet ; 2) devant les noms qui commencent par une voyelle ou un h muet. »

Et ça continue avec des cas particuliers (duc en Bavière p.e.) et des exemples où des bons auteurs n’ont pas respecté la règle.

Quelques citations de l’article Wikipedia :

La particule nobiliaire : une piste trompeuse

Contrairement à une idée reçue, la particule ne peut en aucun cas être prise comme une marque de noblesse (pas plus d’ailleurs que son absence empêche d’être noble)

Règles d’usage

De

Elle n’apparaît que lorsque le nom est précédé d’un prénom, d’un titre ou d’une dénomination (monsieur, madame, marquis, abbé, général, etc.) :

Madame de Sévigné

Subtilité « historique » : de façon systématique jusqu’au Grand Siècle, et parfois encore de nos jours, on trouve la particule employée après un lien de parenté (comme cousin(e), oncle/tante, grand-père/grand-mère).

On peut ainsi trouver :

ma cousine de Maintenon, ma grand-mère de Bourbon-Parme

Lorsque le nom est employé sans prénom ou sans titre, le « de » n’est pas maintenu :

La Fontaine

De même, au pluriel, le « de » disparaît :

Les Montherlant et non les de Montherlant

Toutefois, on conserve ordinairement la particule « de » pour les noms d’une syllabe sonore (le e final étant muet) :

de Thou
de Sèze

Exception : l’usage veut qu’on omette le « de » pour Sade, Maistre, Retz, Broglie (prononcé Breuil sauf à Strasbourg où l’on prononce communément Broglie pour la place Broglie).

D’, Du et Des

Mais « d’ », « Du » ou « Des » sont maintenus :

Du Guesclin
Des Cars
d’Alembert

De et D’

La particule « de » / « d’ » n’est généralement pas prise en compte dans le classement alphabétique : de Sèze sera classé sous S plutôt que sous D, de même que d’Alembert sera classé sous A plutôt que sous D.

Majuscule ou minuscule ?

« de » et « d’ » : la particule étant une préposition marquant l’origine, elle s’écrit toujours en minuscule :

Raymond de Sèze

Si elle est précédée de la préposition « de », la majuscule permet de distinguer les deux « de »:

les mémoires de Raymond de Sèze
les mémoires de De Sèze

Du et Des

« du » et « des », prennent une capitale quand ils ne sont pas précédés d’un prénom ou d’un titre :

un roman de Guy des Cars
le romancier des Cars
un livre de Des Cars
les ruses de Bertrand du Guesclin
le rusé Du Guesclin

Dans un index, ces noms à particule du ou des sont classés à du ou à des : on place Du Bellay à la lettre d, non à b.)

La

« de La » : attention au maniement du « La », où la particule disparaît tout à fait normalement lorsque le nom est seul mais où en revanche le La reste :

La Bruyère
La Rochefoucauld

Classiquement, d’après l’Académie française, ou encore le guide du protocole et des usages de Jacques Gandouin, le « la » ne prend jamais de majuscule s’il est précédé de la particule, ainsi :

Jean de la Bruyère
Étienne de la Boétie
La Bruyère et La Boétie

Cependant, de nos jours, il est souvent écrit le « la » systématiquement avec une capitale : « La ».

Enfin, concernant le classement alphabétique : c’est ce « la » ou « l’ » qui déterminera le positionnement.

La famille de la Bruyère sera classée à « La »
La famille de l’Hermite à « L’» (soit avant « La »)

[ Wikipédia – « Particule (onomastique) » ]

En complément, au sujet de la majuscule; pour paraphraser Le Bon Usage (Grevisse et Goosse, ed. Boeck-Duculot) au §101 c) :

1. « De » préposition pour indiquer l’origine n’est pas considéré comme partie du nom: prend la minuscule. La distinction noble/non-noble
   joue peu ici puisque les exemples de majuscules sont surtout
   présents quand il y a agglutination de la particule avec le
   nom;

   • les particules étrangères équivalentes (comme von, van) : surtout en minuscule en France, majuscule l’emportant pour van en Belgique
   • en néerlandais, le « de » n’est pas préposition mais article, devrait recevoir la majuscule : souvent confondu avec la préposition en France, donc on retrouve aussi la minuscule
   • l’article néerlandais « de » et ses variantes ne prennent pas la majuscule après “van”.

2. Si le nom contient un article qui suit la préposition « de », l’article aura souvent la majuscule mais il y a hésitation;

   • Si le nom est employé sans « de », l’article prend presque toujours la majuscule, mais l’usage peut varier.

3. Avec l’article contracté (du, des), le critère de nobilité est davantage applicable, et plus forte la nobilité, plus on utilise la minuscule; quoique souvent la majuscule avec des personnages du passé, mais la minuscule si le sens géographique l’emporte.¹

De Gaulle. On note incidemment que selon la règle présentée dans la réponse, la particule est requise. Par ailleurs, les règles générales visant la majuscule (LBU §98) s’appliquent nonobstant. LBU n’approuve pas, par exemple, « von Wartburg » en début de phrase. On y souligne aussi la curiosité dans l’utilisation de la préposition « de » en majuscule avec « de Gaulle » pour différencier deux prépositions identiques (de De Gaulle). Dans le même ordre d’idées, on remarque un passage d’intérêt à la BDL (voir aussi) :

Toutefois, on met la majuscule si le patronyme est directement précédé
d’une préposition. Notons cependant qu’il est préférable d’éviter de
placer côte à côte la préposition de et la particule nobiliaire, si
celle-ci n’est ni élidée ni contractée. On préférera donc J’ai lu une
biographie du général de Gaulle à J’ai lu une biographie de De Gaulle.

[ La Banque de dépannage linguistique (BDL),« Noms de
personnes » ]

_{1. Un mot sur les toponymes (au Québec), qui font l’objet de règles particulières, et où la particule prend la majuscule (par exemple, Rue De Gaulle).}

La règle simple est que la particule doit être élidée, sauf quand elle est précédée par un substantif: les Rohan-chabot, mais le duc de Rohan, ma cousine de Ménars, mais les Ménars, etc, etc….