Nous facturons un mois à l’avance

signifie que la facturation est effectuée chaque mois.
alors que :

Nous facturons un mois d’avance

peut signifier une facturation pour un mois unique.

Pour la deuxième phrase, je dirais plutôt :

les frais sur votre facture sont calculés au prorata

Il y a un différence.

Nous facturons un mois à l’avance

Cela signifie généralement que le client paye un mois avant le début de son contrat

Nous facturons un mois d’avance

Cela signifie que le client va payer le mois en cours + le mois suivant

Vous pouvez aussi dire :

Nous facturons chaque mois à l’avance

Cela signifie donc que pour payer le mois de Février, on va être facturé fin Janvier ou début Février.

Pour la seconde phrase, je dirait tout simplement:

Votre facture est calculée au prorata

En fait, il y a une grande différence entre les deux.

Nous facturons un mois à l’avance veut dire que la facture est envoyée ou présentée un mois avant le début du travail ou des travaux à effectuer ou d’une marchandise à livrer, bref, on parle d’une facture pour un service attendu à une certaine date. L’important dans ce cas est la date et seulement la date.

Nous facturons un mois d’avance fait référence à l’objet de la facture, c’est-à-dire quelque chose qui se paye au mois, comme un loyer par exemple.

«Pour ne pas oublier de payer mon loyer, je donne à mon propriétaire deux mois d’avance.»

«Pour être à l’heure malgré la tempête de neige, je pars une heure à l’avance».

Mais:

«Parce que j’ai gagné la dernière manche, j’ai trois points d’avance sur mon adversaire.

«D’avance» et «À l’avance» ne veulent pas dire la même chose.