Que Le Saint Jean soit un café ou une brasserie, comme Jean est un nom masculin on dira :

Je vais manger au Saint Jean

Que La Coupole soit un café ou une brasserie, on dira :

Je vais à La Coupole.

Mais :

Je vais à la brasserie le Saint Jean (La Coupole).
Je vais au restaurant le Saint Jean (La Coupole).

Le Délicatessen est un bistrot brasserie :

Je vais manger au Délicatessen¹.

Passons au cas de la charcuterie Adriano. (la charcuterie)

Veux-tu de la nourriture de la charcuterie Adriano ?

Et au cas du traiteur Adriano. (le traiteur)

Veux-tu de la nourriture du traiteur Adriano ?

Mais je peux dire aussi :

Veux-tu de la nourriture de chez Adriano ?

Je pense que c’est cette dernière formulation qui serait chez moi la plus spontanée.

Et comme je sais que la charcuterie traiteur Adriano est tenue par un italien, je pourrais dire :

Veux-tu de la nourriture de chez l’italien ? Ou préfères-tu qu’on aille chez le grec ?

Dans le cas du bistrot brasserie Le Délicatessen, « Délicatessen » est un nom propre, malgré la présence de l’article défini devant (comme on pourrait dire Le Saint-Jean), bien sûr emprunté à l’américain. En français l’équivalent de ce que les américains appellent deli c’est un traiteur, ou une épicerie-traiteur¹.

En français tu pourrais dire :

Veux-tu de la nourriture de chez Saint-Jean ?

En franglais je dirais :

Veux-tu de la nourriture du deli ?

C’est je pense ce que je dirais spontanément, donc en le traitant comme un nom masculin.

Mais on peut aussi dire :

Veux-tu de la nourriture de la deli ?

Si on pense que c’est une épicerie, ce serait logique. On peut improviser dans la mesure où le franglais n’est pas standardisé.

<sup>1. Ça existe, mais pas de pub, je ne dirai pas où c’est.
2. La différence entre un épicier et un traiteur ce sera pour une autre question.</sup>

Nous sommes ici dans le cas d’une contraction où le nom est sous-entendu et n’est donc pas prononcé ou écrit. Dire que l’on veut “la nourriture du St. John Deli” signifie que l’on veut “la nourriture du [restaurant] St. John Deli” Le genre de l’article à utiliser est donc celui du nom qui est sous-entendu (restaurant, brasserie, café… je ne connais pas le type d’établissement du St. John Deli). Étant donné qu’il s’agit d’un restaurant, nous dirons donc “la nourriture du restaurant St. John Deli” ou, en contractant, “la nourriture du St. John Deli“.