Dans le contexte informatique, on utilise le plus souvent le verbe d’action supprimer.
Hors de ce contexte, c’est l’expression que tu cites qui est presque toujours utilisée, parfois simplement abrégée jeter, la poubelle étant implicite.

On rencontre parfois à l’oral benner voire balancer, mais c’est familier.

Pour répondre plus précisément à la question posée qui recherche un nom d’action plutôt qu’un verbe :

Pour la forme substantive, on a moins de choix car toutes ne sont pas utilisées. On a en effet suppression, mais on ne parle jamais du jet d’un objet (pour désigner l’action de le jeter) ni du “bennage”.

Hors du contexte informatique, cependant, il me semble qu’il n’y a pas de terme correspondant à ce que tu recherches.

Le néologisme poubelliser est de plus en plus employé, même s’il n’a pas rejoint l’emploi papier une recherche google montre que je ne suis pas la seule à l’employer, et pas uniquement dans un contexte informatique.
À partir de là on a fait le substantif poubellisation, mais dont l’usage se rencontre aussi plus sur l’internet que sur le papier.

Outside of the tech context (and I don’t read your question as asking specifically for one context or the other), there’s

l’élimination des déchets.

And then there’s le Robert-Micro’s I(3) sense of “balayer” (Faire disparaitre) and the noun given for the action of to “balayer”: = “un/le balayage.”

Balancer.

Exemple:

Tu as fait quoi de ta vieille TV?
— Je l’ai balancée.

C’est familier mais encore assez correct.

Ou bien, mais c’est plus d’un mot, tu peux aussi dire : « foutre en l’air ».

Pas exactement, mais la « mise au rancart » à partir de « mettre au rancart »¹ est intéressante:

Pop., fam. Jeter, mettre au rancart. ,,Mettre au rebut“ (Ac. 1878,
1935). Et notre vie de grandes fillettes orphelines après (…) du
passé comme ça, vécu ensemble (…) ça ne se jette pas au rancard
comme une chemise sale (E. de Goncourt, Faustin,1882, p. 33).

[ TLFi ]

Il y a aussi immédiatement après le moment du « jet » pourrait-on dire, l’« action d’être », présente dans un des sens du nom débarras (normalement davantage au figuré):

Fait, action d’être débarrassé de quelqu’un ou de quelque chose.

[ TLFi ]

La poubelle n’est pas spécifiquement visée par le débarras et il s’agit d’un état (de désencombrement). Mais la locution jeter à/dans la poubelle signifie aussi justement se débarrasser de qqc. (à la forme pronominale); la nuance entre se débarrasser et l’action d’être débarrassé (le débarras), semble parfois ténue, comme ici, mais elle existe puisque quelqu’un d’autre pourrait jeter à notre place, et donc nous débarrasser d’un fardeau, par exemple.

Une curiosité: en anglais Collins décide de rendre « discard » par se débarrasser de (throw out), un choix intéressant si l’on compare avec « throw away » pour jeter, et l’écart.

_{1. Voir aussi Littré et écart (2) (subst. masc. « Action d’écarter, de rejeter une ou plusieurs cartes[…] ») au TLFi. ll s’agit de sens plus ou moins contemporains des déverbaux d’écarter: écart – re-écart – récart – rancart, mais voir aussi, différent, raccard (grenier).}

On peut utiliser tout simplement poubelle:

— Et ça qu’est ce que j’en fait ?

— Poubelle !

Dans le contexte du recyclage des déchets, qu’ils soient organiques ou non, le simple tri ou bien l’utilisation du verbe trier peuvent être utilisés.

Dans une conversation, si quelqu’un demande “Qu’est-ce que je fais de mes déchets ?” et qu’on lui réponds “tri les.” Il comprendra qu’il s’agit d’un tri sélectif en vue d’un prochain recyclage.
Dans le langage courant, on peut même dire "ça part au tri" pour indiquer qu’on va le jeter à la poubelle, mais pas n’importe quelle poubelle.
Pour ce qui est du verbe trier. Trier ses déchets signifie les séparer, les trier par catégories en vue de les jeter dans la poubelle adéquat pour les recycler (pour des végétaux, ils ne s’agira pas d’une poubelle mais plutôt d’un bac à composte).

On put donc tout simplement dire, "Je trie mes déchets". Tout le monde comprendra qu’il s’agit de mettre à la poubelle afin que les déchets soient recyclés. De plus, le terme n’est pas familier du tout.

Saches aussi qu’on peut détourner ce mot pour parler d’autre chose. Par exemple, qu’on on quitte quelqu’un et qu’on dit “il/elle est parti(e) au tri sélectif”. Une façon humoristique de dire qu’on a quitté la personne.

Si on parle de recyclage, je te conseille de jeter un œil au terme “revalorisation des déchets”.

Sinon, pour le simple fait de jeter quelque chose, comme dit plus haut, on peut le “balancer”, “bazarder”, “benner”, “virer”…