Il me semble qu’en réalité “moi” peut être sujet, par exemple dans cette phrase:

Moi qui ne pleurais pas sentais un poids énorme.

(Ce n’est pas une citation, j’ai écrit cette phrase)

Le huitième dictionnaire de l’Académie liste les cas où moi peut être sujet

MOI s’emploie comme sujet, à la place de Je :

• dans une proposition elliptique : Qui veut aller avec lui? Moi. Il est aussi fatigué que moi. Feriez-vous comme moi?
• dans une proposition dont le verbe est à l’infinitif : Moi, trahir le meilleur de mes amis! Faire une lâcheté, moi!
• dans une proposition participe : Moi parti, ils ont continué à délibérer.
• comme sujet réel : Il n’y eut que moi de cet avis.

Il s’emploie en outre comme sujet coordonné à un nom ou à un autre pronom : Mon avocat et moi sommes de cet avis. Son père, sa mère et moi, le lui avons défendu. Lui et moi l’avons ainsi décidé. Ni vous ni moi ne sommes contents de notre sort. Nous irons à la campagne lui ou moi.

Dans beaucoup de cas, donc.

Quant aux cas où il ne peut pas l’être, je suis tenté d’aller chercher dans l’étymologie. D’après le wiktionnaire

De l’ancien français mei, forme tonique de me, cas régime de jo, je « je »,

Le cas régime, de son petit nom tout sauf le cas sujet, me paraît être un bon candidat pour former un pronom ne pouvant pas toujours être sujet. Idem pour toi qui vient de l’accusatif te.

Je n’ai pas trouvé d’étymologie pour lui et eux, en revanche je ne comprends pas en quoi nous et vous ont un rapport.

Peut-être tout simplement parce que moi, toi, soi se réfèrent à la conscience intime qu’une personne peut avoir d’elle-même alors que lui se réfère à la perception physique d’un autre corps qui ne peut être celui de _oi.

L’insupportable moi je pense que… affirme bien que ma conviction, ma sensibilité, mon mental (entités détachées des sens) ne sont pas la réalité sensible, physique, perceptible de mon corps et que j’ai besoin ce dernier pour communiquer par l’attitude ou la parole.

Alors que si lui pense que …, je ne perçois que la manifestation de son ego à travers la physionomie et l’expression de son corps ; mais lui qui pense que … renvoie à quelque chose que je devine, que je pressent de son intimité que je renforce par le qui pour bien détacher le sujet imaginé de l’objet réel.

• _oi comme référence à une entité abstraite ne peut être sujet, car il n’y a pas d’enracinement dans la réalité alors que lui en est un élément.
• _oi qui pointe vers un objet, une réalité peut devenir sujet comme certaines réponses le mentionne.

Ajouter un sujet à _oi ne dépend pas de règles grammaticales, mais de l’intention, de la cible que le locuteur évoque plus ou moins consciemment.

On peut dire que tous les pronoms toniques peuvent être employés comme sujets, mais que toi et moi, quand ils sont employés pour marquer l’opposition et que le verbe est exprimé, au contraire des autres pronoms toniques, ne peuvent pas être employés seuls.
Ceci est une question d’usage qui pourrait s’expliquer par des raisons historiques. L’expression du pronom sujet en français est beaucoup plus ancienne pour les deux premières personnes du singulier que pour les autres personnes et est serait donc ancrée dans l’usage.

En latin les pronoms personnels sujets n’étaient pas exprimés, et quand les pronoms de la 1^re et 2^e personne sont employés en fonction sujet, c’est pour insister sur la personne¹.
Les pronoms sujets des 1^re et 2^e personnes commencent à être régulièrement employés à côté du verbe en ancien français dès le XI^e siècle, en particulier pour marquer une opposition, alors que les autres personnes ne sont généralement pas employés.
Ce n’est qu’au XVII^e siècle que l’expression du sujet devient la norme et que son absence commence à être condamnée.

Qui sait si dans quelques siècles, une phrase comme

Ils voulaient venir, mais moi voulais pas.

ne sera pas considérée comme correcte ? Le français est une langue vivante, qu’elle vive!

^{1 laboro : je travaille, ego laboro moi, je travaille}.

Sources : Histoire d’une langue : le français (Marcel Cohen, 1973)
Expression et position du sujet pronominal : évolution en français, (Sophie Prevost, CNRS, 2012)