L’inversion n’est pas utilisée que dans cette phrase, et selon le petit rectificatif avec lequel la question devrait être comprise, c’est à dire « ce schéma de phrase », elle est pratiquée généralement ; pour les formes verbales suivantes et la forme complète l’inversion pour les noms n’est pas faite qu’exceptionnellement ;

disent,
apprendre,
montre,
indique,
enseigne

Une possible explication de cette inversion serait l’idée d’un relativement trop grand éloignement du verbe dans la forme complète (avec le COD), celui-ci, rejeté à la fin, se trouvant séparé du sujet par le COI et le COD ; l’inversion rendrait au verbe une place centrale. Par habitude, elle aurait été faite par la suite lorsque la forme tronquée est utilisée. Il s’agit donc d’inversion stylistique. Je n’ai cependant pas de sources de support pour pouvoir considérer cela comme une explication définitive.

L’inversion concerne ici la proposition subordonnée :

comme disent leurs mères,…

alors qu’on s’attendait à :

comme leurs mères disent,…

Le pronom relatif comme a ici une valeur métadiscursive, c’est à dire qu’il ne sert pas à introduire une comparaison, ce qui n’aurait pas de sens ici, mais annonce une proposition qui à trait au discours lui-même.

L’inversion n’est pas obligatoire, mais considérée comme plus élégante, de meilleur style. Elle est d’ailleurs tellement courante que nous sommes plusieurs à ne pas l’avoir détectée à la première lecture de la question.

Une recherche de Ngrams montre une très large domination de l’inversion dans ce type de subordonnées :

Cette utilisation de comme est ancienne, on la trouve par exemple chez Joachim du Bellay dans La deffence, et illvstration de la langue francoyse, 1549

Sonne-moy ces beaux sonnets, non moins docte que plaisante invention italienne, conforme de nom à l’ode, et différente d’elle seulement pour ce que le sonnet a certains vers reiglez et limitez, et l’ode peut courir par toutes manières de vers librement, voyre en inventer à plaisir à l’exemple d’Horace, qui a chanté en XIX sortes de vers, comme disent les grammairiens.

Cette inversion peut être comparée à celle, obligatoire, que l’on rencontre dans les incises :

La famille, c’est sacré, disent leurs mères.