Je n’ai rien vu dans mes références habituelles qu’une absence de mentions pour « faire recours ».

Quasiment toutes les occurrences de « faire recours » trouvées par Google me choquent. Cela me me choque le moins quand il s’agit de « faire recours à une personne » plutôt qu’à une chose ou à un moyen ; je ne dirais d’ailleurs pas « j’ai recours à mon voisin pour … » mais « j’ai recours à l’aide de mon voisin pour … »

À noter que j’ai vu des occurrences de « faire recours à », dont le sens était « effectuer un recours contre [une décision administrative] » ce qui me choque encore plus, pas tant le « faire recours » mais l’utilisation de « à » pour introduire parfois l’institution auprès de laquelle le recours est déposé, parfois même la décision contre laquelle le recours est déposé.

Curieusement la première forme est bien présente dans le TLF dans l’exemple de la définition C.1. De ce que j’ai pu lire, on devrait dire introduire un recours devant…. J’ai pu lire ça sur le site web de la Cour nationale du droit d’asile (CDNA). Mais ils ont également une section Quand faire un recours, ce qui m’amène à penser que cette formulation s’utilise quand on ne souhaite pas préciser les circonstances du recours. Faire recours semble donc une forme réduite.

La formulation avoir recours à s’utilise de manière plus générale. Mais je ne pense pas que faire recours à soit correct en français, sûrement un mélange de faire recours, avoir recours à et faire appel à…