Bibi est un mot arabe emprunté par la langue francaise qui veut dire “moi”

Le CNRTL indique que “bibi” était utilisé dès 1765 comme un terme d’affection. D’après le wiktionnaire son origine provient du radical “bib” signifiant “menue chose”. Sa première utilisation dans la littérature avec le sens de “moi” est attribué à André Gill dans un poème publié dans La Petite lune (Disponible par la suite dans un recueil : La Muse à Bibi).

Sa signification de “moi” semble avoir une origine dans l’argot des enfants parisiens. D’après Le langage parisien au 19e siecle: facteurs sociaux, contingents linguistiques, faits sémantiques, influences littéraires de Lazar Saineanu :

Bibi est le substitut enfantin du pronom de la première
personne : ça c’est pour bibi et bibi c’est moi. C’est en même
temps un nom caressant que l’on donne aux enfants, impliquant la notion de petit […].

Je penses qu’on peut en déduire que des enfants parisiens on commencé à se désigner par le terme bibi (de manière humoristique) puisque leur entourage les appelaient bibi de manière affectueuse.

D’après Les sources indigènes de l’étymologie française, Volumes 1-2 de Lazăr Șăineanu le terme s’est ensuite propagé aux adultes :

1. Terme d’amitié donnée aux petits enfants et aussi aux animaux, chevreaux, chevaux, etc.
2. Moi dans le vulgaire parisien, mot passé des enfants¹ aux adultes

Il serait intéressant de consulter la note de bas de page, mais je n’ai pas réussi à y accéder.