Dans votre exemple

J’ai peur qu’il pense que son interlocuteur [avoir] pour dessein de l’énerver

il convient de décortiquer les propositions et de trouver qui est subordonné à qui.

La partie "qu’il pense que son interlocuteur [avoir] pour dessein de l’énerver" est subordonnée à "j’ai peur", et demande donc un subjonctif, comme vous le disiez. Ce subjonctif est "qu’il pense", ce qui est trompeur dans l’exemple puisque le subjonctif du verbe du premier groupe ressemble à la conjugaison indicative.
Choisissons un autre verbe, pour vérifier : "j’ai peur qu’il fasse", parfait, nous avons ici notre subjonctif.

Le verbe avoir, dans la proposition "son interlocuteur [avoir] pour dessein de l’énerver", dépend de "il pense".

Il est vrai que l’on peut parfois utiliser un subjonctif après le verbe penser, mais cela indiquerait une opinion ou supposition peu probable (par exemple, "je ne pense pas qu’il y soit déjà" = "je doute qu’il y soit déjà", ou * "je ne pense pas qu’il fait ses devoirs" = "cela m’étonnerait qu’il ait fait ses devoirs"*

Ici, nous avons une déclaration ferme : "j’ai peur de ceci", cela ne fonctionnerait donc pas.

Le verbe avoir ne prendra donc pas de subjonctif. Votre exemple sera ainsi conjugué :

J’ai peur qu’il pense que son interlocuteur a pour dessein de l’énerver.