La forme attendue est:

C’est la seule chose que je puisse faire.

On peut aussi utiliser l’indicatif, plus factuel :

C’est la seule chose que je puis faire. (littéraire)

ou le plus courant :

C’est la seule chose que je peux faire.

La forme littéraire puissé-je existe bien, mais l’inversion n’est pas possible dans la phrase proposée car n’entrant dans aucun de ses cas d’usage (interrogative, exclamative, incise, etc.).

Elle aurait été possible dans :

Puissé¹-je seulement faire cette chose !

mais ce n’est plus employé aujourd’hui sauf quand un effet de style est souhaité. Des formes équivalentes de même sens rencontrées en français moderne sont :

Que j’aimerais pouvoir faire cette chose !

Ah, si je pouvais faire cette chose !

Voir aussi: Alternatives à la finale « -é » tonique dans « Chanté-je juste ? »

¹ _{Ce é étant prononcé /ɛ/ et pas /e/, les rectifications de la réforme orthographique de 1990 permettent de le remplacer par un è pour rendre l’orthographe plus conforme à la phonétique (puissè-je).}