La forme la plus correcte est de dire "moi non plus" (c’est le seul cas d’usage de cette expression : pour abonder dans le sens d’une expression négative).

Les deux réponses se disent et signifient toutes deux un acquiescement.

Moi aussi (je partage ce sentiment).

Mon non plus (je ne l’ai jamais été).

On peut contourner ce choix en répondant :

C’est pareil pour moi
Moi de même
Moi, pareil
Pareillement
…

Pour répondre négativement, on peut dire :

Moi, si. (Je l’ai déjà été)

Que la phrase contienne heureux ou malheureux n’a pas d’influence.

Voir aussi cette question très similaire:
Comment exprimer son agrément avec une négation : par « oui » ou par « non » ?

Pour ce qui est des réactions suite à une phrase affirmative on utilise toujours « moi aussi » si on affirme qu’il en va de même pour soi-même. Lorsque la phrase est négative et qu’il s’agit d’une négation simple (ne…pas) c’est toujours « moi non plus ». Ces faits de base se trouvent consignés dans cette page Français Facile.

Il existe une difficulté lorsque la négation est complexe (ne … rien, ne … plus, ne … jamais, ne … personne, ne … aucun) parce que la négation n’est pas ressentie pleinement, ce que confirme le langage parlé, dans le lequel est soustraite la particule négative.

• Il dit rien de la journée.//Vous travaillez plus, alors c’est normal.//Tu verras jamais la fin de cette route, elle fait un cercle.//…

Il est néanmoins correct de traiter les négations complexes comme les simples. Cette page-ci (ngram) montre de nombreux cas où « moi non plus » correspond à « ne … jamais », alors que le tests « jamais moi aussi » est complètement négatif ; il faut donc dire « moi non plus ».
(On a le même résultat pour « rien moi non plus » (réf., (ngram), rien moi aussi).)

Il reste maintenant ce cas spécial abordé dans les commentaires ("Je n’ai envie de manger que de la viande" ou "Je n’ai que toi". Doit-on répondre "Moi non plus" ou "Moi aussi" à ces phrases ?). Il n’y a aucun doute dans ce cas-là (il ne s’agit que d’un et du même principe dans les deux phrases.), seulement « moi aussi » convient. La raison de cela est que l’adverbe « ne » ne représente nullement la négation dans ce cas, où il entre en combinaison avec « que » pour signifier « seulement » (réf.).