Without further information about the context — are we talking about a bill, some kind of draft legislation that’s supposed to pass through Parliament? — I can only speculate.

violette in French is sometimes associated with bashfulness as it is in English. Parliament is perhaps referred to here as being made up of a bunch of shrinking violets.

Another possibility is, as hinted by LPH, that y mettre le nom de la violette simply means to forget about it. The only other example of this expression, that was completely unknown to me, is taken from La Petite Tunisie, a paper that was in print between 1927 and 1937 :

• La menace marocaine se précise. Les journaux de Rabat ont relaté que le total des ventes de phosphates du Maroc s’est élevé pendant l’année 1929 à 1.608.150 tonnes, soit un excédent de 271.071 tonnes sur l’année 1928. A ce train-là, le tonnage est bien prêt d’atteindre les 2.000.000 de tonnes, et quand le nouveau gisement, dont le port d’embarquement doit être Saffi, sera mis en exploitation, nous pourrons mettre le nom de la violette sur nos exploitations algéro-tunisiennes si un contingentement ne vient enfin réglementer la production et la vente des phosphates en Afrique du Nord.

Nothing is available in the various dictionaries in the way of an explanation; a very significant source however (poem refered to by the link below) shows that this expression is an idiom.

In view of the following poem and the symbolism attached to this flower “y mettre le nom de la violette” could mean “to aspire”, ‘to hanker after something”.

poem: https://polyedros.blogspot.com/2010/12/ii-faut-que-mon-coeur-y-mette-le-nom-de.html

Language associated with flowers (symbolism): http://boitedependore.com/avril/langagefleur.htm

• tristesse
• l’idée de perdre votre amour me chagrine.
• exprime le désir de votre amour à la personne aimée.
• exprime l’espoir d’une réponse et met en avant la sincérité de la requête.
• expression d’un amour tendre. méfiance. Amour fervent.
• peine de cœur, vous ne savez pas ce que je souffre. Tristesse.
• tristesse nostalgique.
• Modestie, pudeur ou Amour caché

Pour exprimer son amour :
Pour commencer, envoyez à la personne aimée un bouquet de violettes qui lui dira au creux de l’oreille :
“Il paraît que quelqu’un est amoureux de toi, mais… chut… c’est un secret…”.

https://academie.atilf.fr/8/consulter/VIOLETTE?options=motExact

La violette est l’emblème de la modestie.

II

Il faudrait un bouleversement pour qu’il ait une chance, si je peux appeler ça une chance : avec les bonnes Chambres que nous avons, il peut bien y mettre le nom de la violette.

translation : It would take an earthquake for him to have a chance, if you’d call that a chance: given the solid representation we have he may well go on hankering after it.

Je trouve aussi chez Elsa Triolet, dans "Un Romantisme lunaire" (in Elsa Triolet choisie par Aragon, p. 357), à propos d’un livre de Charles-Noël Martin: "Terminologie",sur l’impuissance de notre langage futur à exprimer tout ce que l’homme a pu apprendre:" Je réponds cette fois à cette supposition qui met le nom de la violette sur tout l’art de notre langage, sur toute la littérature, par des mots qui se trouvent dans Luna-Park, maintenant que ce livre est écrit et publié".
Je n’ai pas trouvé l’origine de cette expression, que l’on trouve également chez Aragon et qui signifie apparemment: effacer, annuler, passer sous silence, renoncer à quelque chose, ne pouvoir le réaliser.

On trouve l’expression dans certains poèmes d’Aragon et comme titre d’un chapitre de Blanche ou l’Oubli. On trouve une explication :

[…] « Tu y mettras le nom de la violette » introduit la métaphore de
l’oubli : « Elle tournait vers moi ses yeux vides, ses yeux, sans
voir, sans langage, comment s’appelle cette couleur qu’ils ont ? " Tu
y mettras le nom de la violette " …des yeux couleur d’oubli. »
(Vassevière, 1998)

L’expression participe d’une manière ou d’une autre à une introduction de la métaphore sur l’oubli. Le même auteur présente ailleurs une analyse de l’intertexte entre Blanche ou l’Oubli et Hamlet et sa référence au cheval de bois oublié et c’est relié à : Maryse folle sur les routes de l’exode ( « Tu y mettras le nom de la violette… ») (Vassevière, 1992). Je n’ai pas accès à l’œuvre pour comprendre davantage…

De fil en aiguille, dans Hamlet et sa traduction j’ai noté des références à la violette, dont une qui renvoie à bien loin dans le temps ; et on finit avec les Satires de Persius : la violette de « Perse » haha ? Je ne sais pas, ce sont des références bien subtiles à Shakespeare chez Louis Aragon. Et ailleurs on a parlé d’Elsa Triolet, et on trouve une référence à violette qui lui fait indirectement référence, le surnom d’une amie peintre (en fait c’est voilette, son amie Valentina Khodasevich)…

Donc « il peut bien y mettre le nom de la violette » signifierait possiblement « oublier » (ça), métaphoriquement parlant. Ce n’est certainement pas courant comme expression, dont l’origine demeure plutôt nébuleuse. Une lecture de Blanche ou l’Oubli se révélera possiblement utile.