Interestingly enough, if you wanted to drop the -y, you’d have to use “Allez !”, which is the 2nd person plural. Please note that by using “Allons-y !” you will include yourself in the movement, whereas “Allez” can be understood as an order to start moving, with you staying right where you are.

“Allez !” is also commonly used for cheering, in a sports event for example (“Allez les Bleus ! Allez ! Allez !”)

“Allons!” is used in a totally different context. It’s meant to ask your interlocutor to be serious, more reasonable.

Tout d’abord, les deux expressions sont correctes.

« Allons-y » exprime un mouvement. Le -y est ici utilisé pour mentionner un lieu. De plus, le locuteur est inclus dans l’action, il se rend quelque part avec d’autres personnes. On peut remplacer facilement le -y par n’importe quel lieu :

Allons à la gare.

On peut rajouter le point d’exclamation comme ceci : « Allons-y ! » pour exprimer une réelle motivation de se rendre dans le lieu.

« Allons » n’a rien à voir avec l’action de se déplacer. Cela exprime le rappel à l’ordre d’une personne :

Allons Paul, tu pourrais faire des efforts !

To put it in more linguistic term, in most uses, the verb aller is divalent, requiring an object in a form of a location (“indirectly transitive”, transitif indirect in traditional French grammar). Because in this meaning, the verb has not lexicalised, the “dummy” object pronoun is required; it acts much like the il of an impersonal verb, being required by syntax, not semantics.