Le problème est, la situation est, qu’il ne veut plus rien entendre.

Le même raisonnement s’applique pour le stylo et l’encre. Il s’agit d’une constatation, il n’y a plus d’encre, qui éventuellement explique.

Dans la phrase précédant le locuteur emploie des verbes d’action, d’avoir, de possession qui veulent imposer le point de vue du locuteur pour avoir raison contre l’attitude d’un enfant.

Une réponse sur le même registre entraînerait une conversation vaine ; c’est que est alors le témoignage d’un état, seule façon d’échapper à un sermon sur la bonne éducation, en même temps qu’il indique les limites de la verbalisation.
Tout enseignant sait que ce n’est pas ce qu’il dit qui compte pour l’enfant, mais lui-même, qui il est… et la suite de la conversation montre que la façon d’être de l’adulte ne convient pas à l’enfant, il a perdu sa confiance et son écoute, il est alors accusé de n’en faire qu’à sa tête (on repart dans les verbes d’action)…

C’est que est l’argument témoin d’une situation incontournable, d’une réalité qui ne peut être remise immédiatement en cause, et donc, le langage soutenu ou familier lui convient.

Que en emploi conjonctionnel, conjonction de subordination
I.A.5. [Introduit une complétive en fonction d’apposition]
[…]
b)[Apposée au pron. ce]
α) C’est que (littéral. «
ceci est, à savoir que… »). Introduit une explication de ce qui
précède ou bien une objection, une rectification à ce qui vient d’être
dit. Sans doute on comptera les moutons d’un troupeau et l’on dira
qu’il y en a cinquante (…) mais c’est que l’on convient alors de
négliger leurs différences individuelles pour ne tenir compte que de
leur fonction commune (Bergson, Essai donn. imm., 1889, p.
68).
− Si … c’est que. Si je vous élève, c’est que je vous
tire hors de votre peau (Saint-Exup., Citad., 1944, p. 587).
−
Est-ce que…? (littéral. « ceci est-il, à savoir que… »). En toute conscience, est-ce que vous croyez que Dieu me pardonnera?
(Martin du G., Thib., Pénitenc., 1922, p. 736).
− Ce que c’est
que… (littéral. « ce que c’est, à savoir (que) »). Ce que c’est
que d’avoir étudié! Ce que c’est que la vie! Mais voyez ce que c’est
que la vanité! (A. Daudet, Tartarin de T., 1872, p. 33).

[ Trésor informatisé de la langue française (TLFi), « que » ]

Ailleurs, en termes de fonction, on l’assimile à celle de subordonnée complétive complément du présentatif (voilà, il y a, c’est). Le bon usage (§1124 f) la classe comme une suite d’un introducteur (les présentatifs qui précèdent) dans le cadre d’une proposition conjonctive essentielle. À ne pas confondre avec la mise en évidence.

• On introduit une explication, une objection, une rectification, ce qui diffère de l’idée de causalité présentée en question.
• Ceci est, à savoir que. Moins directement à savoir que peut être assimilé à c’est-à-dire.
• Ce n’est pas de registre familier.

— Ce stylo n’a jamais fonctionné…
— …c’est qu’il n’y a plus
d’encre dedans.

• Ça me semble introduire ici une rectification. Oui, dans le sens qu’il y a une différence entre l’explication, la
  rectification et l’objection. Je ne sais pas si la nuance découle
  d’un mot dans ce qui précède (par ex. si la réponse avait été si ce
  stylo n’écrit plus c’est…, serait-ce alors une rectification ou
  une rectification dans une explication ? est-ce qu’une explication qui diffère en substance d’une affirmation qui précède est une rectification etc. cette analyse ne me semble pas déterminante, ni même intéressante) ; plus probablement du contexte à mon avis.