Le verbe est bien le verbe "avoir", qui a ici un registre informel (familier, en d’autres mots) et qui signifie « venir à bout de (quelque chose/quelqu’un) », à ne pas confondre avec le verbe familier « avoir » signifiant « tromper (qqn) ».

• C’est un lutteur puissant, mais lui est résistant et à la longue il l’a eu.
• Ce problème demande un travail sans fin mais comme c’est une élève assidue, à force de travail elle l’aura.