Si tu parles du nom, constatation me paraît adéquat dans un contexte scientifique.
Pour ce qui est du verbe, démontrer ou attester devrait faire l’affaire.
Dans ta citation, justification s’en rapprocherait le plus.

Pour commencer, lors de la traduction d’une expression comme celle-là, le fait que preuve soit un peu plus fort qu’evidence ne me semble pas un mal, on fait de toute manière suivre par extraordinaire.

Une affirmation extraordinaire demande des preuves extraordinaires.

Tu peux éventuellement enlever l’extraordinaire pour ne pas trop amplifier l’idée initiale.

Une affirmation extraordinaire demande à être prouvée.

me semble pas mal. Ou si tu tiens à éviter prouver,

Une affirmation extraordinaire demande à être étayée par des faits probants.

Ensuite, preuve n’a uniquement un sens absolu. Sinon on ne parlerait pas de preuves insuffisantes ou de preuves irréfutables. Il me semble simplement que la division du champ sémantique entre indice (qui est à coup sûr trop faible ici) et preuve en français se fait ailleurs qu’entre evidence et proof en anglais.

I’ve ran into that problem in my works.

In French, we generally will use “preuve” in most cases. Although this is not a good answer. Then I think that in some cases “pièce à conviction” would be interesting since it has the sense of something use to find the truth.

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J’ai été confronté à ce mot dans mes travaux.

En français, on utilisera le terme “preuve” dans la plupart des cas. Bien entendu, je suis conscient que cela ne réponds à la question. Je pense donc que, selon les cas, il est plus intéressant d’utiliser “pièce à conviction” en ce sens où celle-ci sert à la recherche de la vérité.

Le mot « évidence » existe en français aussi… ce mot ne veut-il pas dire la même chose qu’en anglais?

L’éventail de sens du mot preuve en français est assez large, et couvre à la fois certains sens du mot anglais evidence et certains sens du mot proof. Le mot preuve est donc correct dans le sens demandé ici, même si je comprends que tu ne veuilles pas l’utiliser à cause de son ambiguïté.

Puisque tu insistes sur l’aspect réfutable de la science, je propose d’utiliser la terminologie popperienne : corroboration. Ce mot n’est pas très courant, et risque d’être compris comme un synonyme de confirmation par un public non familier avec l’épistémologie, mais vu le contexe cela ne devrait pas poser de problème.

S’agissant de la citation de Carl Sagan en particulier, elle a un historique en partie francophone. Avant lui, Marcello Truzzi disait : « An extraordinary claim requires extraordinary proof. » Cette phrase est une traduction en anglais d’une formulation de Théodore Flournoy, qui énonçait dans Des Indes à la Planète Mars (ch. X, p. 344–345) :

Il convient, pour les mieux mettre en lumière, de les formuler isolément en deux propositions représentant les principes directeurs, les axiomes, de toute investigation du supranormal. L’un, que je nommerai Principe de Hamlet, peut se condenser en ces mots : Tout est possible. L’autre, auquel il est juste de laisser le nom de Principe de Laplace, est susceptible de bien des expressions ; je l’énonce ainsi : Le poids des preuves doit être proportionné à l’étrangeté des faits. ».

Flournoy se fonde sur une remarque de Laplace, que l’on trouve dans son Essai philosophique sur les probabilités ainsi que dans l’introduction de sa Théorie analytique des probabilités (dans une section intitulée « Du Calcul des Probabilités, appliqué à la recherche des phénomènes et de leurs causes »). Laplace lui-même ne s’aventure pas à utiliser de mot comme preuve, se limitant à parler de probabilité (ce qui est le thème de son œuvre, donc ne nous permet pas de tirer de conclusion quand à son choix de mot).

Nous sommes si loin de connaître tous les agents de la nature et leurs divers modes d’action, qu’il serait peu philosophique de nier les phénomènes, uniquement parce qu’ils sont inexplicables dans l’état actuel de nos connaissances. Seulement, nous devons les examiner avec une attention d’autant plus scrupuleuse, qu’il paraît plus difficile de les admettre; et c’est ici que le calcul des probabilités devient indispensable, pour déterminer jusqu’à quel point il faut multiplier les observations ou les expériences, afin d’obtenir en faveur des agents qu’elles indiquent une probabilité supérieure aux raisons que l’on peut avoir d’ailleurs, de ne pas les admettre.

Personally, I think the word “preuve” is the best word for the above citation. Without getting into an epistemological argument, I don’t think your opinions on the “unprovable” aspect of applied sciences should really weigh in (they would certainly meet strong disagreement from a scientist like Carl Sagan).

That being said, if you are so strongly opposed to the word “preuve”, the next best word would probably be “démonstration“, which generally translates “[mathematical/scientific] proof” rather than “evidence”, but would fit nicely in the context above:

Une affirmation extraordinaire appelle à une démonstration extraordinaire.

In certain cases, for example in police work, you could use indice.

Un terme fréquemment utilisé en finance est empirique. Je ne sais pas si c’est approprié dans ce contexte-ci cependant.

Des études empiriques démontrent que […]

C’est souvent utilisé dans un contexte pour signifier « ce n’est pas une preuve scientifique / fondamentale, mais c’est statistiquement fort probable que ».

 

I am arriving a little late to get my answer to be really useful, but anyway I think (I am a French, from France, and I recently arrived in the United States in order to work and study, and I am subsequently having a hard time to do not make too much proof of evidences in English, as a french who knows better ‘readen’-English than how communicative English should be..), …

… -So, I was writing that my “I-French” think- that the author should act upon-pedant and use the ‘combination’ “élément de preuve” while insisting on the last part of the word “élément”, but above all meanwhile not forgetting to being conscious acting pedant ; and I believe that in that singular case, only, one could then communicate a widespread -clear- understanding of himself to French people in the room

Les assertions extraordinaires requièrent des phénomènes extraordinaires.

Mais mon préféré c’est l’idée de Knu, ce qui donnerait dans ce cas :

Les assertions extraordinaires requièrent des constatations extraordinaires.

Les traductions habituelles de la citation Extraordinary claims require extraordinary evidence (voir par exemple l’article Wikipédia sur Marcello Truzzi), ainsi que ses sources en anglais et en français utilisent preuve, poids de la preuve ou fardeau de la preuve.

Pour ma part, je suis également perplexe vis-à-vis de ce terme dans un contexte scientifique: une preuve est par définition irréfutable et ce qui est scientifique est par définition réfutable.

Dans la deuxième phrase proposée: It is not rational to believe that homeopathy is an effective treatment because all scientific evidence is that it works no better than a placebo, j’utiliserais volontiers le terme “arguments scientifiques“.

J’ai aussi pensé au verbe étayer mais j’ai rarement rencontré le nom associé étai au sens figuré.

Incidemment, cela me rappelle la citation de Frédéric Dard: L’hypothèse la mieux élaborée ne saurait prévaloir sur la réalité la plus bancale.

Les traductions habituelles de la citation Extraordinary claims require extraordinary evidence (voir par exemple l’article Wikipédia sur Marcello Truzzi), ainsi que ses sources en anglais et en français utilisent preuve, poids de la preuve ou fardeau de la preuve.

Pour ma part, je suis également perplexe vis-à-vis de ce terme dans un contexte scientifique: une preuve est par définition irréfutable et ce qui est scientifique est par définition réfutable.

Dans la deuxième phrase proposée: It is not rational to believe that homeopathy is an effective treatment because all scientific evidence is that it works no better than a placebo, j’utiliserais volontiers le terme “arguments scientifiques“.

J’ai aussi pensé au verbe étayer mais j’ai rarement rencontré le nom associé étai au sens figuré.

Incidemment, cela me rappelle la citation de Frédéric Dard: L’hypothèse la mieux élaborée ne saurait prévaloir sur la réalité la plus bancale.