I will try a unsourced explanation, but it seems to me that the term “Coucou” comes from the Cuckoo clocks where the Cuckoo pops out the clock and greets you with a “Coucou” before going away.

Plus this is an onomatopoeic derivation that is easily memorised by children, thus explaining why it is so common.

Le mot provient de l’horloge avec un coucou qui contient un oiseau dont le bruit fait «coucou».

Au sens strict lorsque c’est utilisé comme salutation c’est surtout quand la salutation doit être une surprise ou doit créer une surprise. Un peu comme la sortie du coucou de l’horloge surprend. C’est aussi pour ça que «coucou» est prononcé avec intonation. Si l’expression est restée, c’est selon moi très dû au fait que l’expression est simple à se rappeler et que c’est couramment utilisé dans un jeu pour bébé qui consiste à imiter le mouvement et le bruit du coucou.

D’après le Dictionnaire historique de la langue française :

Par analogie avec le cri de l’oiseau, « coucou » est employé comme onomatopée (1660) pour le cri des enfants jouant à cache-cache et, de là, pour le cri manifestant une présence inattendue (1887).

Coucou pour désigner une horloge dont la sonnerie est remplacé par un oiseau imitant le cri du coucou est apparu en 1832, c’est donc postérieur à l’emploi du mot dans les jeux d’enfants.

According to the Dictionnaire historique de la langue française:

By analogy with the bird’s call, “cuckoo” is used as an onomatopoeia
(1660) for the shout of children playing hide and seek and, thereafter,
for the interjection signalling an unexpected presence (1887). [user translation]

“Coucou” to designate a clock where the chime has been replaced by a bird imitating the cuckoo’s call appeared in 1832, so this happens at a later time than its use in children’s games. [user translation]

Coucou you do?

Oui, comme c’est dit dans le dictionnaire plus haut
Cela sonne bien en Français.
Quand on joue dans les bois, enfant, et qu’on entend l’oiseau crier “coucou”
c’est surprenant(il y en a en France, ces oiseaux ont la réputation de voler les oeufs des autres), comme glouglou, cocorico, hihan, pffff,plouf, atchoum, beurk, ouf…
On entend ces cris prononcés ainsi (onomatopées)
Coucou = hello mais plus sympa et plus familier

The cuckoo is a bird doing much worse than stealing eggs : the female lays her own eggs in another nest when the legitimate parents are away, and gets rid of most of the right ones ; returning home, the owners don’t notice a difference – although the eggs are bigger, and even could be more numerous – and feed them when they hatch ; if one true offspring then appears, it is killed by the new-born cuckoos, much stronger.

The cuckold is similarly (the etymological roots are the same) a husband believing wrongly that he fathered one of his child – or at risk.

“Coucou” is a very distinctive word, you can shout it from very far away, and uttered when, at the game of hide-and-seek, a child feels to have found a secure place.

It can be used, in colloquial language, by a friend turning up suddenly; it means “you were not expecting me, eh !”

It’s used in regular conversation as well. I am from NY but I live in Italy and have many friends in France. Mostly used between family members or close friends.