Certains dictionnaires (par exemple le Larousse) utilisent la graphie « hadjdj » comme vedette et donnent « hadj » en équivalence.

Cependant, il semble que la graphie « hadj » soit la plus attestée, tel que le souligne le Trésor de la langue française :

Nombreuses var. aux XIX^e et XX^e s. Hadj [adʒ] et hadji [adʒi] init. asp. sont les plus attestées sur toute la période considérée.

Le dictionnaire de l’Académie note que « hadj » est emprunté de l’arabe hadjdj.

Il est souvent difficile de savoir si un terme emprunté à une langue étrangère est « accepté » ou non en français. Les ouvrages de référence peuvent dire une chose et l’usage peut être tout autre. Dans ce cas-ci, l’utilisation de la graphie la plus attestée, soit « hadj », est probablement préférable, bien que « hadjdj » soit accepté par certains dictionnaires.