Il me semble que générique est plus précis que général, mais générique — bien que réservé à quelques domaines de spécialité — m’a tout l’air de pouvoir remplacer général à chaque fois qu’il est employé comme adjectif.

La différence est peut-être seulement qu’on peut dire en général.

Typiquement, et pour rester, je pense, dans le champ mathématique, j’appelerai générique quelque chose qui peut être paramétrisé, même avec les mains, et général quelque chose qui s’applique largement, mais dans un sens plus flou. Il me semble que si on a une solution générique, alors on doit pouvoir trouver un générateur de solutions particulières, ce que ne garantit pas une solution générale.

Au premier abord, dans ton exemple, oui, j’aurais dit que générique convenait, mais en y réfléchissant, ça dépend peut-être de ce qu’est exactement la méthode. D’un autre côté, en essayant de trouver un exemple, soit il vaut mieux reformuler avec en général, soit on peut remplacer général par générique.

La méthode générale pour traiter un problème consiste à essayer de le simplifier avant de le résoudre.

Mais je ne trompe personne, et j’ai dans l’idée qu’il vaudrait mieux dire :

En général, il faut simplifier les problèmes avant de les résoudre.

Dans les acceptions considérées, générique, c’est propre à un genre, une classe caractérisée par des traits communs, tandis que général, c’est ce qui s’applique à tous. Pour moi, on va donc utiliser générique quand l’applicabilité est vaste mais conditionnée par des propriétés.

Parmi les définitions du Robert :

Générique (didactique) qui appartient à la compréhension logique du genre (opposé à spécifique) ; caractère générique, qui désigne un genre entier
… (et aussi : Médicament générique dont le brevet est tombé dans le domaine public, et aussi générique d’un film)

Général : qui s’applique , se réfère à un ensemble de cas ou d’individus (opposé à particulier)

Il semble qu’il s’agisse de deux mouvements de la pensée opposé lorsqu’elle observe:

• on découvre quelque chose, on en cherche la genèse, ce qui constitue sa particularité et que l’on veut ensuite expliquer pour partager ses connaissances [de génération en génération] (ce qui explique la signification didactique retenue dans Le Robert),
  Pour générique il s’agit donc d’un mouvement vers le centre de ce qui est observé.
  C’est la perception du locuteur qui désire expliquer la constitution, les aspects particuliers souvent masqués d’un sujet ou d’un objet.

• on observe un ensemble et on cherche les points communs.
  Il s’agit donc de situer un sujet observé parmi ses semblables.
  C’est la discrimination du locuteur, qui envisage des règles ou des lois d’un ensemble.

Dans le cadre d’une formation, d’un exposé, si générique vous vient à l’esprit pour préciser votre discours, pourquoi pas, surtout si c’est ‘logique’.

Dans le cadre d’une explication, d’une discussion, d’un échange de points de vue ou les rapprochements et différentiation entre divers groupes sont observés, général devrait convenir, surtout si l’intuition (si l’on se réfère à la doxa) est prédominante

Bien sûr il existe beaucoup de situation intermédiaires, avec des interférences possibles où l’on pourrait ergoter indéfiniment.

Pour ma part, j’emploie rarement générique, qu’inconsciemment je rattache à gène, origine ou à quelque chose de précis ; général est rattaché à ‘en général’, soit quelque chose de vague.