Les deux mots sont pareils, mais je dirais que “gêner” es un peu plus informel.

Les sens de ces deux verbes se recoupent seulement partiellement :

déranger dans son sens B.2.a (“Troubler dans ses occupations, gêner”) veut bien dire gêner (“Causer une gêne physique ou matérielle à quelqu’un”) dans son sens A.2.

Ils sont donc interchangeables dans ce cas. Un exemple d’interchangeabilité est quand quand l’inconfort est modéré et physique :

Le soleil dans les yeux me gêne pour travailler

ou

Le soleil dans les yeux me dérange pour travailler

Un cas où ils ne sont pas interchangeables :

Déplacer ce qui était rangé :

Il a dérangé mon bureau. <==> Il a mis mon bureau en désordre.

Dans le sens général, « ça me gêne » sera plus utilisé quand le dérangement est d’ordre éthique :

Ne m’offre pas le repas, ça me gêne

ou pudique :

Je ne me mets pas en maillot de bain, ça me gêne

alors que déranger sera utilisé quand une activité est interrompue :

Ne me téléphone pas au bureau, ça me dérange