Le verbe tuteurer existe bien puisque il se trouve dans le Larousse en ligne; cependant sa signification n’a rien à voir avec l’enseignement;

(Larousse en ligne) tuteurer : Munir d’un tuteur un jeune arbre, une plante

L’internaute
confirme les dires de vos collègues.

tutorer , verbe transitif
Le verbe tutorer est utilisé pour désigner le tutorat d’un élève qu’assure un professeur. Tutorer un élève revient à l’aider dans ses devoirs, à lui apporter une aide personnalisée en fonction de ses besoins.

Tout indique qu’il faut utiliser la forme « tutorer ».

Selon l’OQLF Tuteurer est un terme d’horticulture, vraisemblablement « munir d’un tuteur », le tuteur étant une…

Armature rigide destinée à soutenir ou à redresser une plante.

Selon la même source…

Tutorer   Accompagner un élève ou un étudiant éprouvant des difficultés en lui offrant une aide pédagogique personnalisée.

Pour le changement du groupe de lettres -eu- en -o-, notons que ce n’est pas un cas unique en français, même s’il s’applique plus généralement à des noms, parmi lesquels on retrouve l’état du tuteur (le tutorat), ainsi que d’autres termes utilisant le même suffixe -at :

• tuteur / tutorat
• professeur / professorat
• électeur / électorat
• protecteur / protectorat
• censeur / censorat
• pasteur / pastorat

La plupart de ces état ne se transforment pas en verbes, ce qui confère un caractère un peu unique au tutorat, qui a engendré tutorer. Il est vrai que °tuter ne paierait pas de mine…