It is the same as the “to + infinitive” in English.

It works well in your second example:

“I’m at the hotel to eat my dinner”.

It’s a bit flaky in the first example because you would not say it this way in English, but you can still use “to + infinitive” like so:

“We spent our day at the park to play and [to] talk.”

(The meaning is changed slightly when using “to + infinitive” in this case. It should, of course, be translated as “[…] at the park playing and talking.” in order to keep the same meaning.)

On a passé notre jour au parc à jouer et à bavarder.

In this first case the pattern is « verbe – COD – infinitif », and it is a possible one for certain verbs only.

The TLFi makes precise that this is a pattern in which

“Le complément direct est de l’inanimé; il n’est ni « sujet », ni objet de l’infinitif.“.

Here are a few examples from the TLFi; they are current;

il mit quelques instants à comprendre
il mit plus de vingt ans à retrouver …
il mit une semaine à mourir
consacrer du temps à faire qqc.
dépenser son existence à faire fortune
dépenser une partie de son argent à décorer …
employer cette demi-heure à visiter …
utiliser ses connaissances à faire …

Je suis à l’hôtel à manger mon dîner.

That form is not used; You should say this;

• Je suis à l’hôtel en train de manger mon diner.

1. On a passé notre journée au parc à jouer et à bavarder.

Here à is used as a preposition to an infinitive.

TLFi:

I.− À dans le syntagme verbal (à sert à construire un complément du verbe)
…
B.− À introduit le complément indirect dans une double construction
…
4. À + inf. (ou subst. d’action), compl. de destination
…
c) Le compl. dir. est de l’inanimé; il n’est ni « suj »., ni obj. de l’inf. :
ils mettent leur élégance à ne pas se montrer il mit pareille patience à parfaire …il ne mettait donc aucune bonne volonté à fournir … elle mettait tout son orgueil à faire reconnaître … il mit tous ses efforts à me maintenir … ils mettaient bien du temps à pousser … il mit quelques instants à comprendre il mit plus de vingt ans à retrouver … il mit une semaine à mourir consacrer du temps à faire qqc. dépenser son existence à faire fortune dépenser une partie de son argent à décorer … employer cette demi-heure à visiter … utiliser ses connaissances à faire … attacher le plus grand prix à démontrer …

2. Je suis à l’hôtel, à manger mon dîner.

This form can be used but is literary. Here à has a durative meaning:

I’m at the hotel, having dinner.

It has also often a depreciative connotation. The hotel guest is probably not having fun.