Pour moi on demande pardon càd que l’on regrette sincèrement ce que l’on a fait et qu’on ne le refera plus. Demander pardon implique donc avoir commis une faute grave ou un fait trés répréhensible.

Je te demande pardon de t’avoir volé de l’argent.

D’autre part, Excusez-moi est une simple formule de politesse sollicitant le pardon de l’auditeur. Cette expression est plus largement utilisée pour demander à quelqu’un de répéter, pour quitter une conversation, pour appeler le serveur, ou plus simplement présenter ses excuses.

Je me suis trompé, veuillez m’excuser.

Le sens premier de pardon (déverbal de pardonner, du latin perdonare), apparu au 12^e siècle était religieux : le pardon était la remise de peine pour ses péchés accordée par l’église (on disait aussi l’« indulgence »). Le mot est entré dans le domaine laïque avec un sens atténué au 16^e siècle dans la formule de politesse « Je vous demande pardon ».
L’interjection raccourcie « Pardon ! » est devenue au 20^e siècle une exclamation populaire emphatique synonyme de « Excusez-moi ! ».
Le mot était passé dans la langue anglaise au 15^e siècle dans son sens religieux, a été employé dès le 16^e siècle, dans l’expression I beg your pardon pour exprimer de simples excuses, comme en France, mais il semblerait (source l’OED) que l’interjection raccourcie en « pardon » ait été employée dès le 19^e siècle en anglais, avant la France. Y a-t-il eu là, retour vers la France et, le simple « pardon » pour signifier « excusez-moi » serait-il un de ces mots voyageurs qui ont fait des allers retours de chaque côté de la Manche ?

L’emploi de « pardon » ou d’« excusez-moi » dépend fortement des individus et des circonstances.
Quand je veux qu’on me laisse passer, surtout dans le métro et que je ne veux pas rater ma station, je dirai plus volontiers « pardon », probablement parce que c’est plus court, et si je veux passer c’est que je suis pressé et que l’autre n’avait qu’à pas se mettre sur mon chemin.
Quand je bouscule quelqu’un, je dirai plus volontiers « Excusez-moi », probablement parce que je suis en tort, et que j’aurais dû faire attention. Peut-être que « Excusez-moi » sonne comme plus poli ?
Pour attirer l’attention de quelqu’un, et que de ce fait je le dérange, par exemple parce que je veux demander mon chemin dans un lieu que je ne connais pas, je dirai « Bonjour, excusez moi », jamais « pardon ».

Et il arrive assez souvent d’entendre « Pardon, excusez-moi », et à noter aussi l’ironique « Excusez-moi si je vous demande pardon ».

Il sera intéressant de poursuivre par la lecture de cette question et de ses réponses : « Je m'excuse » ou « excusez-moi » ou « je vous présente mes excuses » ?

^{Références étymologiques issues du Dictionnaire historique de la langue française, sld Alain Rey}

To add to what others have said: It depends on the context and the exact phrase, not just which verb you use.

Pardonnez-moi can be as serious as forgive me (for which you recognize fault) or as lightweight as excuse me (for which you have not necessarily done anything yet, let alone anything wrong).

Demander pardon is pretty serious and definitely recognizes fault. It is to ask for forgiveness. Similarly, demander des excuses and presenter ses excuses are serious: ask someone to apologize and apologize, respectively.

Just Pardon (possibly repeated), when trying to make your way through a crowd, is similar to pardon me or excuse me (or even just pardon) in English.

There is not really a one-to-one relationship between either pardonner or s’excuser and either to pardon or to excuse oneself.