Livreur est déjà attesté dans le sens de livraison de marchandise dans le Godefroy
(IXe au XVe)
Noter le livreure (s.f.) et le livreor qui doit lui être beaucoup plus ancien en raison de la précision des cas.

Livrer se rencontre aussi et dans ce même sens dans la Chanson de Roland (XIe) (Pois, li livrat le bastun e le brief (341))

Tout ça pour dire que le sens n’a sonc pas vraiment évolué depuis l’AF.
Comme le souligne @Laure en commentaires de l’OP, l’étymon latin portait déjà ces deux sens possiblement pour la raison que j’ai donnée en commentaires de l’OP.