Eurodéputé ou député européen est le plus entendu à mon avis.

Sur le site web de l’UE ils utilisent :

…les membres du Parlement européen (les députés européens) sont…

Le site wikipedia (en Français, bien sûr) dit :

Les termes eurodéputé, MPE (membre du parlement européen) ou MEP (member of the european parliament) sont également utilisés.

Alors encore j’ai essayé de trouver la page d’un MPE ici. Le résultat ? Le titre dit « députés » !

Alors il semble vraiment que ce soit « MPE » ou « député » (européen si le contexte n’est pas clair). « Eurodéputé » n’est pas directement utilisé sur les pages que j’ai vues, mais je soupçonne qu’il le soit également.