La phrase :

Y a des chiens dans la rue.

est incorrecte.

L’abandon du pronom il reflète un raccourci oral très répandu mais n’est pas grammaticalement correct.

Cet usage est parfaitement incorrect dans un langage formel (à l’écrit en particulier).

Son seul usage à l’écrit est réservé à accentuer le caractère argotique des paroles (par exemple pour mettre l’accent sur le milieu social d’un personnage).

C’est un emploi accepté en français informel (écrit et parlé), mais plutôt mal vu en français standard (surtout à l’écrit).

Non. À l’oral cette séquence de trois mots est très souvent abrégée, mais l’écriture doit rester « il y a ».

Les raccourcis « Ya », « ‘ya », « y a » apparaîtront sûrement dans des salons de discussion ou autres supports informels. Cela n’apparaîtra jamais dans un livre, excepté peut-être dans une citation orale, ou dans une bande dessinée.