Entraider correspond à l’action de l’entraide. Entraide est un nom existant et c’est ce à quoi fait référence le verbe entraider.

Entr'aimer ne correspond pas à l’action de l’entraime car ce nom n’existe pas (et n’aurait pas de sens). Il fait donc directement référence à entre et à aimer d’où cette orthographe.

Selon le Wikitionnaire :

https://fr.wiktionary.org/wiki/entr%E2%80%99aider

entr’aider existait il y a un temps. C’est une ancienne orthographe d’entraider.

1. (Désuet) Ancienne orthographe de entraider.

   Il se faut entr’aider, c’est la loi de nature. — (Jean de La Fontaine, L’Âne et le Chien, Fables VIII, 17)

Désuet : qui n’est plus employé par la langue moderne → voir vieilli et archaïque.

Mon avis est qu’« entraider » et antérieurement « entr’aider » sont beaucoup plus utilisés qu’ « entr’aimer ».

On entend un peu partout, dans la vie quotidienne, dans la littérature ou dans les journaux le verbe entraider, tandis qu’entraimer est moins courant, au contraire d’aimer tout simplement. Le fait que l’apostrophe soit peut courante en plein milieu de mots et qu’entraider est plus simple d’utilisation qu’entr’aider, a sûrement conduit à ce changement. Je pense qu’il n’est pas impossible non plus que dans le futur, entraimer existe à la place d’entr’aimer, bien que comme dit pécédemment, le fait que ce verbe soit nettement moins utilisé contribue à ce que ça ne soit pas encore fait.

Pour appuyer mes propos qui concernent la fréquence d’utilisation, entraider ou entr’aider ont été tapés environ 1 000 fois sur Google durant les 12 derniers mois, tandis que le verbe entr’aimer ou entraimer ont été cherché moins de 10 fois sur Google seulement durant cette même période. Source : https://trends.google.com/trends/explore?geo=FR&q=entraider,entr%27aimer

La réponse, s’il faut en croire Grevisse (Le Bon Usage, 14e édition, §45 R1) est beaucoup plus bête: dans l’édition de 1932 du Dictionnaire de l’académie française, les apostrophes dans les verbes commençant par entr+voyelle (incluant entr’aider qui s’écrivaient encore communément ainsi dans la deuxième moitié du 19e siècle) furent supprimées… mais celles des verbes entr’aimer, entr’apercevoir, entr’égorger, entr’appeler et entr’avertir ne le furent pas sans qu’on sache trop pourquoi, laissant persister une orthographe ancienne sans raison!

Si ce n’était de cet accident historique, ces orthographes ne persisteraient pas dans la 9e édition (2001), qui admet les deux possibilités uniquement pour ces verbes.

C’est un peu comme le i de oignon, longtemps seul survivant de l’époque où il empêchait qu’on prononce -gn- avec deux consonnes comme dans gnome, d’ailleurs, c’est le même i dans Montaigne, que cet auteur faisait bel et bien rimer avec montagne!

(NB: pour ceux qui aiment utiliser le site du CNRTL, ces verbes ne s’y trouvent pas dans la lexicographie de l’Académie, et je ne saurais dire pourquoi, mais ils sont bel et bien dans la base de données de l’ARTFL pour la 8e édition)