Il n’y a pas de problème à l’écrire. Le sens est :

… pour que les enfants s’amusent à construire des châteaux de boites de carton.

comme, à partir de :

Robert a eu l’idée de faire un grand tas de sable pour que les enfants s’amusent à le creuser ou à en construire des châteaux.

on peut écrire :

…ou à construire des châteaux de sable.

ou alors, si Robert a apporté des cartes à jouer :

…construire des châteaux de cartes.

« Châteaux en sable » ou « châteaux en cartes » ne sont pas idiomatiques.

Comme l’illustre une autre réponse, boîtes de carton détermine les châteaux. Or le pronom en a vocation à remplacer un complément du nom, entre autres, d’où son emploi dans la phrase en question.

• Robert a eu l’idée de faire descendre les grandes boites de carton pour que les enfants s’amusent à les peindre ou à en construire des châteaux.

C’est une construction rare pour le verbe « construire ». Lorsque « en » est employé avec construire la relation n’est presque jamais celle qui est impliquée dans la présente phrase, c’est à dire, celle correctement identifiée par les termes « à partir de », « avec », « sur la base de » ; la relation est précisément identifiée par la locution prépositive « au moyen de » (synonyme de « avec ») dans une construction courante de ce même verbe.

• construire au moyen de briques récupérées/au moyen de branches entrelacée/au moyen de boites/…

Dans la phrase, « en » est le pronom atone de la troisième personne (« atone » parce qu’il n’est pas possible de placer l’accent tonique dessus) ; la fonction grammaticale qu’il remplit dans sa proposition est celle de complément circonstanciel, dont on verra la sorte particulière ci-après. Si on pose la question « … pour que les enfants s’amusent à construire des châteaux au moyen de quoi ? » (qui n’est pas naturelle de prime abord mais qui inspirée par ce que l’on lit dans la phrase le devient) on doit répondre « construire des châteaux avec des boites, au moyen de boites » c’est à dire « construire des châteaux au moyen de « en » ». La fonction grammaticale de « en » est donc « complément circonstanciel de moyen du verbe « construire »».

Un examen des livres au moyen de la recherche « en construire » montre que c’est un usage rare pour « construire », ce qui tend à communiquer une fausse impression de non idiomaticité ; on s’aperçoit que sur plus de 200 cas il n’y en a peut-être pas plus de 5 ou 6 qui répondent à la catégorie « moyen ».

• (réf.) J’ai apporté de grands cèdres des plus hauts sommets du Liban pour en construire ses colonnes.

Finalement, on se base sur le « rapport de recherche » fournit par le TLFi, en² I. A. 1. a. pour constater que le moyen est bien inclus dans les possibilités.

[Dans des constr. où « en » a valeur de compl. circ. il exprime] :
[L’éloignement d’un lieu pour représenter un groupe nom. en fonction de compl. circ. : de là, de cet endroit, de + nom de lieu]
[Employé avec certains verbes à la forme pronom., en partic. aller, avec un antécédent souvent tiré implicitement du contexte (cf. infra II B)]
[Sans idée nette de point de départ]
[L’origine, la source]
[L’éloignement dans le temps (à mesure qu’on s’éloigne ou que l’on se rapproche de cette date s’en éloigner, en sortir)]
[La cause (à la suite de, à cause de)]
[Le moyen]
[Le propos]

On remarque que la même phrase où « construire » a été remplacé par « faire » prend un accent de légitimité plus grand, on ne doute plus.

• Robert a eu l’idée de faire descendre les grandes boites de carton pour que les enfants s’amusent à les peindre ou à en faire des châteaux.

Ceci se comprend je crois du fait que l’expression du moyen avec « faire » est très courante.