Manifestement, l’usage de sèche pour cigarette était déjà recensé en 1874 et dériverait du mot sec. Pourquoi et comment, par contre, mystère et boule de gomme.

Sur Les expressions françaises décortiquées, on trouve une étymologie qui me semble plausible même si je n’ai pas de référence plus conventionelle à proposer :

Si l’étymologie n’est pas certaine, Rigaud, dans son Dictionnaire du jargon parisien publié en 1878, indique que la sèche a désigné la cigarette de manufacture, ce beau tuyau rempli de tabac parfaitement cylindrique fabriqué en usine.

Mais pourquoi ? Eh bien ce serait simplement par opposition à l’informe cigarette roulée dont le papier, collé à la salive, était en partie humide.