Nous sommes en présence de trois verbes construits de la même façon :

• re-entrer
• re-tourner
• re-venir

dont certains sens peuvent se recouper (en particulier celui de « aller de nouveau »), mais ils ne sont jamais entièrement synonymes et sont chacun très larges d’emploi avec de nombreux emplois figurés.

Je dirais que ces trois verbes sont synonymes uniquement quand ils signifient « rentrer/retourner/revenir chez soi ».

Rentrer, c’est étymologiquement entrer de nouveau. Mais depuis longtemps (XVI^e siècle) il est utilisé aussi comme synonyme de entrer, le préfixe re ayant perdu dans ce cas son sens de « encore une fois/de nouveau », et les deux verbes sont en concurrence pour signifier « pénétrer quelque part ».
Quelqu’un vient chez moi pour la première fois, je peux lui dire aussi bien :
« Je vous en prie, entrez » que « je vous en prie, rentrez ».

Alors que quand je dis « Je rentre chez moi » le préfixe re a gardé tout son sens de retour au point de départ. Par contre dans ce cas « entrer » perd un peu de son sens de « pénétrer  quelque part » pour se rapprocher du sens de « aller » et peut signifier tout simplement : « je vais de nouveau chez moi  ».

Dans retourner, le préfixe re conserve pleinement son sens de de nouveau/retour au point de départ, par contre c’est le verbe « tourner » qui a perdu sa valeur sémantique originale pour prendre le sens de « aller ».
On emploie souvent ce verbe comme synonyme de « renvoyer » (retourner un colis à son expéditeur, par exemple). Au sens figuré on peut « retourner un compliment ».

Dans revenir, le préfixe re et le verbe venir conservent tous les deux toute leur valeur sémantique, et « revenir » c’est bien « aller de nouveau à son point de départ » ou, dans ses nombreux sens figurés, « retrouver son état initial ».

Le sens que ces trois mots ont en commun est celui de se diriger une seconde fois vers un lieu. On pourra dire : revenir à la maison, rentrer à la maison ou retourner à la maison.

Cependant, rentrer contient la notion de se diriger vers un endroit duquel on est parti peu avant, une destination « finale », souvent une demeure où l’on habite… On rentre à la maison, mais on ne rentre pas au travail. Dire simplement Je rentre suffit à signifier qu’on rentre à la maison.

C’est à mon avis la seule différence stricte… Et je pense qu’il est plus naturel de dire je rentre à la maison que je reviens à la maison ou je retourne à la maison car on a l’habitude d’inclure cette idée de destination finale quand on parle. Dans les autres situations (destination temporaire) on pourra employer revenir ou retourner.

A noter les autres sens fréquents de retourner, qui signifie dans son sens premier: tourner dans un autre sens: retourner la viande sur le feu, ou se retourner sur soi-même; et de rentrer, qui a également le sens de faire entrer un objet dans un contenant, comme un emboîtement. Par exemple, faire rentrer un tuyau dans un autre, ou de manière figurée, rentrer en soi-même. Ou bien encore, rentrer dans un magasin, le magasin englobant la personne une fois celle-ci entrée dedans.

Il y a une nuance cruciale entre retourner et revenir qui manque dans les réponses de Laure et de Maxim.

Pour retourner quelque part, on doit absolument être ailleurs que le lieu où on s’en va, et où l’on est déjà allé, alors que revenir implique que l’on part de là où l’on se trouve, mais qu’on y sera à nouveau dans un certain délai:

• J’en reviens signifie qu’on était parti du lieu où l’on est, mais qu’on y est maintenant de nouveau, ce qui complète notre voyage.
• J’y retourne signifie au contraire que l’on quitte le lieu où l’on se trouve pour aller ailleurs, et que le voyage sera complété à cet autre endroit, dont on ne reviendra pas nécessairement.

Dans les deux cas, il y a aller-et-retour, mais dans le cas de retourner on n’a pas encore fait la partie “retour”, alors que dans revenir, le voyage entier est considéré d’un coup.

Les réponses sont complètes mais je trouve cette petite histoire intuitive.

Monsieur et Madame Lagrange passent leurs vacances à Singapour. Ils
adorent visiter différents pays du monde, et ils ont eu un vrai coup
de cœur pour cet endroit.

Mais malheureusement, les vacances se
finissent bientôt et ils vont devoir rentrer à la maison. Ils espèrent
pouvoir revenir bientôt.

Une fois arrivée en France, Madame Lagrange demande à son mari : «
Alors, quand est-ce qu’on retourne à Singapour ? »

Source :

https://francais.lingolia.com/fr/vocabulaire/mots-confondus/autres/rentrer-revenir-retourner