Ces deux phrases sont correctes, mais ne s’emploient pas dans le même contexte

C’est le samedi qu’ils organisent leur soirée.

Pourrait être une réponse à « Ils organisent leur soirée dimanche ? », elle indique que la soirée sera organisée un samedi.

C’est le samedi où ils organisent leur soirée.

Pourrait être une réponse à « C’est quel samedi ? », elle précise que parmi tous les samedis existants, celui dont il est question est celui où ils organisent leur soirée.

Si la deuxième formulation est correcte, la première n’est pas juste à mon sens sous cette forme. En effet, la présence du le suggère qu’on ait plus d’informations sur ce samedi.

Du coup, on peut préciser la date pour que ça devienne juste ou bien ne rien mettre du tout :

C’est le samedi 21 qu’ils organisent leur soirée (le implique une date précise).
C’est samedi qu’ils organisent leur soirée (sous-entendu samedi prochain).

Dans le cas où ce serait une phrase faisant allusion à un samedi en général, la marque du pluriel me semble nécessaire pour « leur soirée » :

C’est le samedi qu’ils organisent leurs soirées.

Cela signifie que chaque fois qu’ils organisent une soirée, elle a lieu le samedi.

Un exemple qui combine les deux formulations :

— Dis-moi Pierre, pourquoi David et Paul viennent-ils nous voir samedi prochain ?
— Bah tu sais ! C’est le samedi où ils organisent leur soirée.
— Ah oui, c’est vrai ! Eh pourquoi ne font-ils pas ça dimanche ?
— Parce qu’ils ne changent pas leurs habitudes : c’est le samedi qu’ils organisent leurs soirées.