En général, on habite sur une côte, donc :

Il habite sur la côte est des États-Unis.

Le mot est est en minuscules puisque ce n’est pas un nom propre.

Mais quand « côte de … » est considérée comme le nom d’une région, et pas seulement comme une description, on utilise dans. Dans ce cas, l’expression est un nom propre, donc il faut une majuscule à côte.

Il habite dans la Côte est des États-Unis.
Il habite dans la Côte est.

La capitalisation est un peu floue dans ce cas : on trouve aussi « Côte Est » et même « côte Est ». Je trouve « côte Est » un peu bizarre, mais c’est grammaticalement correct (Est est un nom propre en apposition au nom commun côte), et c’est l’orthographe choisie par l’auteur de l’article de Wikipédia.

Il y a quelques régions françaises dont le nom est formé sur ce modèle, par exemple la Côte d’Azur (pas une entité administrative) et la Côte-d’Or (un département). Du coup la juxtaposition de dans et côte ne choque pas.

Il y a une différence de sens entre « sur la côte est » et « dans la Côte est ». Quelqu’un qui habite sur la côte doit être près de la mer, alors que la région « Côte est » est beaucoup plus grande.

Tout ceci explique le principe. En pratique, les gens ne font pas toujours attention, et le concept de région « East Coast » n’est pas tellement connu en France. Donc « côte est des États-Unis » et « Côte est [des États-Unis] » sont souvent interchangeables et l’utilisation de dans ou sur est un peu floue. S’il est vraiment important de les distinguer, il faut préciser, par exemple : « près de la côte Atlantique », « dans la région Côte est ».

On ne dit pas « à la côte » en France, sauf quand il s’agit d’une destination (aller à la côte) (ou dans une expression figurée). En France, on ne peut pas « *habiter à la côte ». Ça se dit par contre en Belgique : on dit « à la côte » (sous-entendu la côte Belge) là où en France on dirait « au bord de la mer ».

Québécois ici. On peut également dire habiter la côte est sans préposition (comme on dit parfois, du moins au Québec, habiter la rive nord). Je ne sais si cet usage (une extension des formules avec des adverbes plus généraux comme ici, là là-bas etc.) est aussi d’un usage plus général.

Quand il y a préposition, ici, on emploie unique sur. À mon avis, cela découle directement de ce que c’est (à ma connaissance) la préposition correcte en l’absence du spécifique Est:

Il habite sur la côte. (correct)

* Il habite dans la côte. (nongrammatical)