Il me semble qu’« allez-y » est parfait. Je l’utilise pour autoriser mes enfants à faire quelque chose et aussi pour les encourager.

Il n’y a probablement pas d’expression rigoureusement équivalente. « Allez-y » est plus large. Pour traduire la connotation selon laquelle l’interlocuteur peut agir librement, on peut dire « déchaîne-toi » ou « lâche-toi » (un peu informel, collerait mal avec le vouvoiement).

J’ai le sentiment que have at it est plus incitateur que « allez-y », effectivement. Le New Oxford American Dictionary dit d’ailleurs :

have at: attempt or attack forcefully or aggressively.

Donc, pour have at it, je proposerais plutôt (au pluriel) « foncez ! », dans le registre informel.

On entend aussi, avec la même signification :

Fais-toi plaisir ! / Faites-vous plaisir !

…sans aucun lien direct avec un réel plaisir physique, bien entendu, ce n’est qu’un encouragement à agir, une autorisation chaleureuse.